5. Lie csoportok, Lie algebrák
A másik jegyzet kicsit
más szemszögből vizsgálja a Lie csoportokat.
Ezzel a fejezettel párhuzamosan érdemes áttekinteni a következő részeit:
- Egy kis analízis:
differenciálszámítás, érintő, differenciálegyenletek,
Picard-Lindelöf tétel, vektormező folyama, részsokaság, inverz
függvény tétel, mátrix Lie csoportok.
- Exponenciális
függvény: csoportműveletek deriváltja, exponenciális függvény,
egyparaméteres részcsoportok, Lie algebra.
- Mátrix csoportok:
Kiszámolja sok-sok Lie csoport Lie algebráját.
1. Definíció:Lie csoport
Egy
sokaságot, ami egyúttal
csoport is, és a
csoportműveletek végtelen sokszor differenciálható függvények,
Lie csoportnak mondunk.
2. Definíció:
Legyen egy Lie csoport. Egy részcsoportot
zárt részcsoportnak mondunk, ha egyszerre részcsoport,
és zárt halmaz.
Akkor pedig, ha minden pontnak van olyan környezete,
amelyben az egyetlen -beli pont,
diszkrét részcsoportnak nevezzük.
Lie csoportok között folytonos homomorfizmusnak nevezzük
azokat a homomorfizmusokat, amelyek egyúttal folyonos függvények.
Sok-sok Lie csoportot találsz a másik jegyzet
Mátrix csoportok
fejezetében. Mivel mindegyik megadható egyenletekkel,
könnyen látható, hogy mindannyian zárt részcsoportok
-ben.
Cartan alábbi
tételéből következik, hogy valóban Lie csoportok.
3. Tétel:Cartan tétele
Egy Lie csoport zárt részcsoportja mindig részsokaság - tehát maga
is Lie csoport. Egy zárt részcsoport pontosan akkor diszkrét, ha
dimenziós.
Lie csoportok között minden folytonos homomorfizmus
végtelen sokszor differenciálható.
4. Definíció:egyparaméteres részcsoport
Legyen
egy Lie csoport. A
folytonos
homomorfizmusokat egyparaméteres részcsoportnak hívjuk.
Cartan
tétele miatt
végtelen sokszor differenciálható. Fontos:
az egyparaméteres részcsoport nem csak egy részcsoport, de
paraméterezve is van! Ha ugyanezt a részcsoportot másképpen
paraméterezzük, akkor egy másik egyparaméteres részcsoportot
kapunk.
Először a mátrix Lie csoportokat, zárt
részcsoportjait vizsgáljuk.
5. Tétel:egyparaméteres részcsoportok GL(n,R)-ben
Minden
mátrix meghatároz egy egyparaméteres
részcsoportot:
Az
mátrix az
egyparaméteres részcsoport generátora.
Így megkapjuk
minden egyparaméteres részcsoportját.
6. Definíció:
Cartan tétele szerint zárt részcsoportjai
Lie csoportok. Ezeke mátrix Lie csoportoknak hívjuk.
Egy mátrix Lie csoport Lie algebrája nem más,
mint az pontbeli érintő tere, a -ba
eltolva. Ez egy altér az összes mátrixok terében,
-ben. Sőt, zárt a Lie zárójel műveletre, tehát
nem akármilyen altér, hanem rész Lie algebra.
7. Tétel:
Legyen egy zárt részcsoport,
és a Lie algebrája.
Minden mátrix egy egyparaméteres
részcsoportot generál. Ez megfordítva is igaz: minden -beli
egyparaméteres részcsoportot egy -beli mátrix generál: a
részcsoport (mint görbe) érintő vektora az pontban.
8. Megjegyzés:
A
7. Tétel
könnyen következik a
Picard-Lindelöf tételből: az egyparaméteres részcsoportot leíró
differenciálegyenletnek van megoldása
-ben is és
-ben is, és az egyértelműség miatt ez a két megoldás egy és
ugyanaz. Azt is könnyen láthatjuk, hogy az érintőtér valóban Lie
algebra (Lásd az
6. Definíciót).
Ehhez a Mátrixok Lie zárójelét kell kifejezni a
csoportműveletekkel.
Az exponenciális leképezés hatványsorából leolvasható:
9. Megjegyzés:
A
7. Tétel
mutatja, hogy egy
zárt részcsoport Lie
algebrája pontosan azokból az
mátrixokból áll, amelyekre
minden
számra. Ezt azonban elég
leellenőrizni
-hoz közeli
értékekre, hiszen azok generálják
az egész
csoportot. Erről szól a következő tétel:
10. Tétel:
Legyen egy zárt részcsoport,
jelölje a Lie algebráját.
Ha az exponenciális függvény a alteret teljes egészében a
csoportba viszi, és fordítva, egységelemhez közeli elemeinek
logaritmusa -ben van. Tehát az exponenciális függvény egy-egy
értelmű megfeleltetést ad nullához közeli elemei és
egységelemhez közeli elemei között.
Ezért -t úgy is kiszámolhatjuk, hogy a csoport -hez
közeli elemeinek a logaritmusát vesszük: ezek kifeszítik a
alteret.
(A) Invariáns vektormezők
- Legyen egy Lie csoport, ,
pedig egy egyparaméteres részcsoport.
Most úgy gondolunk -re, mint egy sokaságra,
pedig egy görbe ebben a sokaságban.
- A görbe érintője az pontban nem más,
mint deriváltja -ban. Mivel a görbe a csoportban
halad, ez -nek is érintő vektora.
- Tetszőleges pontból kiindul a
görbe. Ennek érintővektora -ban egy vektor a
pontban. Ez megad egy vektormezőt a sokaságon.
- Az első pontban a görbét vizsgáltuk,
az érintővektora nem más, mint .
- Vizsgáljuk a -vel való (jobboldali) szorzást, mint egy
, transzformációt.
Világos, hogy a görbe transzformáltja éppen a
görbe.
Ezért a transzformációnk a vektormezőt saját magába
transzformálja.
- Általában, invariáns vektormezőnek hívjuk az olyan
vektormezőt, amelyet az előző pontban leírt
transzformációk mindegyike saját magába transzrormálja.
- Legyen egy tetszőleges -t érintővektor az pontban.
Az transzformációk segítségével minden pontba
eltranszformálhatjuk, tehát minden -beli érintővektor
egyértelműen kiterjeszthető egy invariáns vektormezővé.
- Könnyen ellenőrizhető, hogy a vektormező nem csak a
pontban érinti a görbét, hanem a görbe minden
pontjában. Tehát a vektormezővel megadott
differenciálegyenletnek a kezdőpontból kiinduló megoldása
éppen a görbe.
- Fordítva: a differenciálegyenletekre vonatkozó
Picard-Lindelöf tétel mutatja, hogy a vektormező
egyértelműen meghatássozza a görbéket, és így a
egyparaméteres részcsoportot is.
- Általában: ha egy tetszőleges invariáns vektormező
-n, akkor megoldhatjuk a hozzá tartozó differenciálegyenletet,
igy kapunk egy görbesereget, és egy egyparaméeres részcsoportot
is.
- Legyenek és tetszőleges vektormezők, alkalmazzuk
rájuk és a vektormezőre az transzformációt. Világos,
hogy .
Ezért invariáns vektormezők Lie zárójele is invariáns.
- Az invariáns vektormezők egy Lie algebrát alkotnak: az összes
vektormezőből álló (végtelen dimenziós) Lie algebra
részalgebráját.
Ezt összefoglalva:
11. Definíció:Lie csoportok Lie algebrája
Egy
Lie csoport Lie algebrája a rajta értelmezett
invariáns vektormezők Lie algebrája.
Az
(A) számítás mutatja,
hogy ez azonosítható az
pontbeli érintővektorok terével,
és az egyparaméteres részcsoportok halmazával is.
12. Megjegyzés:
Legyen
egy Lie csoport,
a Lie algebrája.
Minden
elemhez tartozik egy
egyparaméteres részcsoport.
Az
leképezést
exponenciális leképezésnek
hívjuk, jelölése:
.
Könnyen látható, hogy mátrix Lie csoportokra ez valóban a jól
ismert
mátrix exponenciális függvény.
A
Hausdorff-Campbell-Baker-formula is érvényes minden
Lie csoportra.
13. Tétel:
Minden véges dimenziós Lie algebra izomorf egy Lie csoport Lie
algebrájával. (Általában több ilyen Lie csoport is van.)
Lie csoportok és Lie algebrájuk kapcsolata.
(B) Lie csoport - Lie algebra kapcsolata
- Legyen G egy összefüggő Lie csoport, g a Lie algebrája!
- pontosan akkor kommuatív, ha az.
- egyértelműen meghatározza -t. Fordítva: ugyanez a
Lie algebra több Lie csoportnak is lehet a Lie algebrája. De van
közöttük egy "legnagyobb"
(egyszeresen összefüggő) ,
és az összes többi ennek a faktorcsoportja:
. Az normálosztóról is sokat lehet tudni:
kommutatív, centrumában van, és
diszkrét.
- Legyen egy másik Lie csoport, a Lie algebrája.
Minden folytonos homomorfizmus meghatároz egy
Lie algebra homomorfizmust (ami nem más, mint
deriváltja az egységelemben). Fordítva: minden Lie algebra
homomorfizmus meghatároz egy homomorfizmust, ahol
jelöli a Lie algebrájú egyszeresen összefüggő Lie
csoportot.
- Minden zárt részcsoport Lie algebrája
részalgebra -ben. Fordítva: minden részalgebra
meghatároz egy folytonos homomorfizmust,
ahol jelöli a Lie algebrájú egyszeresen összefüggő
Lie csoportot. A homomorfizms képe nem feltétlenül zárt!
- Minden zárt normálosztó Lie algebrája ideál
-ben. Fordítva: minden ideál meghatároz egy
folytonos homomorfizmust, ahol jelöli az
Lie algebrájú egyszeresen összefüggő Lie csoportot. A
homomorfizmus képe normálosztó, de nem feltétlenül zárt!