4. Lie Algebrák, Vektormezők

1. Definíció:
Lie Algebra
Egy (valós) Lie Algebra nem más, mint egy valós vektortér (ℝ n), amelyen értelmezve van egy kétváltozós művelet: a Lie zárójel, jelölése [A,B], a következő tulajdonságokkal: Ha a vektorterünk komplex vektortér, és a Lie zárójel komplex lineáris, akkor a Lie algebrát komplex Lie algebrának mondjuk.
2. Definíció: Legyenek A és B Lie algebrák. Azt mondjuk, hogy egy V≤A altér rész Lie algebra, ha a Lie zárójel művelet nem vezet ki belőle, azaz bármely v,w∈V elempárra [v,w]∈V. V-t Lie algebra ideálnak mondjuk, ha bármely v∈V, a∈A elempárra [v,a]∈V. Egy ϕ:A→B lineáris leképezést Lie algebra homomorfizmusnak mondunk, ha megőrzi a Lie zárójelet, azaz bármely a,b∈A elempárra ϕ([a,b])=[ϕ(a),ϕ(b)] Két Lie algebra izomorf, ha van közöttük egy invertálható homomorfizmus.
3. Definíció: Egy Lie algebra kommutatív, ha bármely két elem Lie zárójele nulla. Világos, hogy csak egy n dimenziós kommutatív Lie algebra van minden n-re. (Pontosabban: bármelyik kettő izomorf egymással).
I. Feladat: Bizonyítsd be, hogy csak egyetlen 1 dimenziós Lie algebra van: a kommutatív! Megoldások
II. Feladat: Lásd be, hogy a háromdimenziós (valós) vektorok a vektoriális szorzással Lie algebrát alkotnak!

Lie algebrákat a gyakorlatban kétféle módon szoktunk megadni:

Mátrix Lie algebrák

4. Definíció: Jelölje gl(n,ℝ) az összes n×n-es mátrixok terét. Úgy gondolunk az elemeire, mint a GL(n,ℝ) csoportot az egységelemben érintő vektorokra. gl(n,ℝ) vektor tér, és értelmezzük rajta a Lie zárójel műveletet, jelölése [A,B]: [A,B]:=AB−BA Ezzel a művelettel gl(n,ℝ) egy Lie algebra lesz. Az n×n-es komplex mátrixok Lie algebráját pedig gl(n,ℂ) jelöli.
5. Megjegyzés: Mátrixok Lie zárójelét szokás kommutátornak is hívni. Ebben a jegyzetben a Lie zárójel elnevezést használjuk, a kommutátor szót fenntartjuk a csoportokban értelmezett [a,b]=aba −1 b −1 műveletre.
III. Feladat: Ellenőrizd, hogy a mátrixok Lie zárójele kielégíti a Lie algebra azonosságokat!
(A)
gl(n,R) és gl(n,c) részalgebrái
IV. Feladat: Lásd be, hogy az (A) Listán valóban részalgebrák vannak!
V. Feladat: Számítsd ki az (A) Listán szereplő Lie algebrák dimenzióját!
6. Tétel:
Ado tétele
Minden végesdimenziós valós Lie algebra izomorf gl(n,ℝ) részalgebrájával valamilyen n-re.
7. Definíció:
Exponenciális függvény mátrixokra
Legyen A∈gl(n,ℝ). A vele azonos méretű e A mátrixot így definiáljuk: e A:=lim n→∞(1 +An) n=∑ n=0 ∞1 n!A n Másik jelölés és elnevezés: az exp:gl(n,ℝ)→GL(n,ℝ), exp(A):=e A függvényt exponenciális fügvénynek hívják. Természetesen ugyanezt a definíciót használhatjuk komplex mátrixokra is, ilyenkor az eredmény is komplex mátrix lesz: exp:gl(n,ℂ)→GL(n,ℂ).

Az exponenciális függvényről sokat olvashatsz a másik jegyzet Exponenciális függvény fejezetében. Ott megtalálod a deriváltját is, amiből következik, hogy van inverze. Precízebben:

8. Tétel:
Mátrixok logaritmusa
Az exp:gl(n,ℂ)→GL(n,ℂ) függvény a 0 mátrix egy kis környezetét egy-egy értelműen képezi az 1 mátrix egy környezetébe, ezért ott van inverz függvénye, a logaritmus függvény, jelölése log(A): log(A):=−∑ n=1 ∞(1 −A) nnha∥1 −A∥<1 vagy másképpen írva: log(1 −B):=−∑ n=1 ∞B nnha∥B∥<1
9. Tétel: Ha A,B∈gl(n,ℝ) felcserélhető mátrixok, azaz AB=BA, akkor e A és e B is felcserélhetők, és e Ae B=e A+B Tehát ha L≤gl(n,ℝ) egy felcserélhető mátrixokból álló altér, akkor exp:L→GL(n,ℝ) egy csoport homomorfizmus.
VI. Feladat: Bizonyítsd be a 9. Tételt!

Ennek a tételnek nagyon fontos alkalmazása a 5/5. Tétel: az egyparaméteres részcsoportok leírása GL(n,ℝ)-ben. Ha a mátrixok nem felcserélhetők, akkor is mondhatunk valamit:

10. Tétel:
Hausdorff Campbell Baker formula
Ha az A,B∈gl(n,ℝ) mátrixok közel vannak a 0 mátrixhoz, akkor a mátrix szorzás egy konvergens sorba fejthető: exp(A)⋅exp(B)=exp(A+B+1 2 [A,B]+1 12 [[A,B],B]−1 12 [[A,B],A]+…) ahol a sor minden tagja csupán Lie zárójelek segítségével kapható A-ból és B-ből. Tehát a mátrix szorzás kifejezhető a Lie zárójel segítségével.

Vektormezők

11. Definíció: Legyen V=(V 1 ,V 2 ,…V n) egy vektormező az n dimenziós tér egy nyít tartományán! (Tehát a V i együtthatók n-változós függvények.) Egy ugyanott értelmezett (tehát n változós) f függvény V szerinti iránymenti deriváltja: Vf:=⟨V,∇f⟩=∑ i=1 nV i∂f∂x i Az iránymenti deriválás egy homogén elsőrendű differenciál operátor: ⟨V,∇⟩=∑ i=1 nV i∂∂x i
12. Konvenció: A vektormezőket azonosítjuk az általuk meghatározott iránymenti deriválással, thát V=∑ i=1 nV i∂∂x i alakban írjuk, ahol a V i eggyütthatók n változós függvények. Ebben a jelölésben tehát a ∂∂x i operátorok lesznek a bázisvektorok.
13. Definíció: A fenti azonosítás lehetővé teszi, hogy sokaságokon is beszélhessünk vektormezőkről. Egy M sokaságot érintő vektormező nem más, mint egy M-en értelmezett homogén elsőrendű differenciál operátor. Ha egy M-beli kis környezeben választunk x 1 ,x 1 ,…x n koordinátarendszert, akkor felírhatjuk a vektormezőt ∑V i∂∂x i alakban.
14. Megjegyzés: Könnyen ellenőrizhető, hogy ha M⊆ℝ N egy részsokaság, akkor M-et érintő vektormezők valójában olyan N-dimenziós vektormezők, amelyek M pontjaiban vannak értelmezve, és minden pontban érintik M-et. Ezért kapták az "érintő vektormező" elnevezést.
VII. Feladat: Ellenőrizd a 14. Megjegyzést.

Legyenek V és W vektormezők - tehát homogén elsőrendű differenciál operátorok. Egymás után alkalmazva őket egy másodrendű differenciál operátorhoz jutunk: VW=(∑ i=1 nV i∂∂x i)(∑ j=1 nW j∂∂x j)= =∑ i=1 n∑ j=1 nV iW j∂ 2 ∂x i∂x j+∑ i=1 n∑ j=1 nV i∂W j∂x i∂∂x j Ez a művelet nem kommutatív, ha fordított sorrendben alkalmazzuk őket, akkor másik operátort kapunk: WV=∑ i=1 n∑ j=1 nW iV j∂ 2 ∂x i∂x j+∑ i=1 n∑ j=1 nW i∂V j∂x i∂∂x j Vegyük észre, hogy a másodrendű tagok megegyeznek, tehát a két kompozíció különbsége megint csak homogén elsőrendű differenciál operátor, azaz vektormező.

15. Definíció: A V és W vektormezők Lie zárójele: [V,W]:=VW−WV A fenti számolás szerint minden másodrendű tag kiesik, tehát ez is egy vektormező lesz: [V,W]=∑ j=1 n(∑ i=1 nV i∂W j∂x i−W i∂V j∂x i)∂∂x j
16. Tétel: Egy M sokaságot érintő vektormezők egy (végtelen dimenziós) Lie algebrát alkotnak.
VIII. Feladat: Ellenőrizd, hogy a vektormezők Lie zárójele kielégíti a Lie algebra azonosságokat! Ezzel bebizonyítod a 16. Tételt.
IX. Feladat: Minden A∈gl(n,ℝ) mátrixhoz hozzárendeljük a V A vektormezőt: V A(x)=Ax. Mutasd meg, hogy ez az A→V A hozzárendelés lineáris leképezés, és megőrzi a Lie zárójelet: V [A,B]=[V A,V B]. Más szóval, ez egy Lie algebra homomorfizmus gl(n,ℝ)-ből a vektormezők Lie algebrájába.