3. Szimmetrikus csoport: S(X)
Megoldások
VI. Feladat:Lásd be, hogy minden permutációnak csak egyféle
ciklusfelbotása van!
Segítség:A ciklusfelbontásban egymástól
diszjunkt ciklusokat használunk!
VII. Feladat:Igaz-e, hogy minden másodrendű permutáció transzpozíció?
Megoldás:Nem: is másodrendű.
VIII. Feladat:Határozd meg egy transzpozíció konjugált
osztályát!
Segítség:Lásd be, hogy ha az transzpozíciót
konjugáljuk egy permutációval, akkor az
transzpozíciót kapjuk!
X. Feladat:
Határozd meg egy tetszőleges permutáció konjugált
osztályát!
Segítség:Lásd be, hogy két permutáció pontosan akkor konjugált,
ha ciklusfelbontásukban ugyanolyan méretű ciklusok szerepelnek, és
minden méretből ugyanannyi!
XIV. Feladat:Hogyan számíthatod ki egy permutáció
rendjét? Legfeljebb mekkora lehet?
Segítség:A ciklusfelbontásban szereplő ciklusméretek legkisebb
közös többszöröse.
XVI. Feladat:
Legyen az halmaz szimmetrikus csoportja.
Minden elemre jelüli az elem
stabilizátorát, tehát azon permutációk halmazát,
amelyekre .
Lásd be, hogy mindegyik részcsoport, és egymás konjugáltjai.
Lásd be, hogy ez részcsoportok egy teljes konjugált osztálya:
ha egy részcsoport konjugált -hez, akkor az valamelyik
elemmel.
Segítség:Lásd be, hogy .
XXI. Feladat:Lásd be, hogy a paritás kétféle definíciója megegyezik!
Ebből következik az is, hogy a paritás nem függ attól, hogyan
alakítottuk transzpozíciók szorzatává a permutációnkat.