2. Konjugálás, normálosztó, faktor csoport
1. Konvenció:
Érdemes kiterjeszteni a csoportműveleteket részhalmazokra.
Ha egy csoport, tetszőleges részhalmazok,
és egy csoportelem, akkor jelöli az -beli
elemek inverzeinek halmazát, a illetve az halmazt úgy
kapjuk, hogy az összes -beli elemet balról illetve jobbról
szorozzuk -vel, és végül jelöli az összes alakú
szorzatot, ahol és .
2. Definíció:
Legyen egy csoport, tetszőleges elem. A következő
izomorfizmust -vel való konjugálásnak nevezzük:
A elemet az elem konjugáltjának mondjuk,
jelölése: .
Egy elem összes konjugáltjának halmazát az elem
konjugált osztályának nevezzük.
Ha egy
részcsoport, akkor a -beli elemek -vel való konjugáltjai
ismét részcsoportot alkotnak, ezt a részcsoport
konjugált részcsoportjának hívjuk, jelölése
. Egy részcsopot összes konjugáltjának
halmaza a részcsoport konjugált osztálya.
I. Feladat:
Legyen egy csoport, tetszőleges elem.
Lásd be, hogy a -vel való konjugálás valóban izomorfizmus!
II. Feladat:Számítsd ki a síkbeli mozgások csoportjában egy eltolás
konjugáltjait!
III. Feladat:Számítsd ki a síkbeli mozgások csoportjában egy elforgatás
konjugáltjait!
IV. Feladat:Számítsd ki egy halmaz
permutációcsoportjában egy transzpozíció konjugáltjait.
3. Definíció:
Legyen egy csoport, egy részcsoport. jobboldali
mellékosztályai a részhalmazok, ahol
tetszőleges elem lehet. Hasonlóképpen, a részhalmazokat
baloldali mellékosztályoknak hívjuk.
V. Feladat:
Lásd be, hogy egy részcsoport jobboldali mellékosztályai
egyúttal baloldali mellékosztályok is. Melyik részcsoporté?
Megoldások
VI. Feladat:Lásd be, hogy egy részhalmaz pontosan akkor
mellékosztály, ha .
4. Definíció:
Legyen egy csoport. Egy részcsoportot
normálosztónak mondunk, ha zárt a konjugálásra nézve:
minden elemre.
Jelölése: .
VII. Feladat:
Lásd be, hogy egy csoport centruma mindig normálosztó a csoportban!
VIII. Feladat:
Legyen egy csoport, egy normálosztó!
Lásd be, hogy centruma nem csak -ben normálosztó, hanem
-ben is!
IX. Feladat:
Legyen egy csoport, elemek, és
egy normálosztó!
Mutasd meg, hogy a és mellékosztályok szorzata
(1. Konvenció)
éppen a mellékosztály!
X. Feladat:
Legyen egy csoport, egy elem, és
egy normálosztó!
Mutasg meg, hogy a mellékosztály inverze
(1. Konvenció)
éppen a mellékosztály!
5. Tétel:
Legyen
egy csoport és
egy normálosztó!
Az
mellékosztályai csoportot alkotnak:
a szorzást és az inverz képzést az
1. Konvenció
szerint végezzük, az egységelem
lesz.
6. Definíció:
Legyen
egy csoport és
egy normálosztó!
Az
mellékosztályai által alkotott csoportot
(
5. Tétel)
-nel
jelöljük, és
faktorcsoportnak nevezzük.
7. Tétel:
Minden csoport homomorfizmus magja normálosztó,
és a szerinte vett faktorcsoport izomorf a homomorfizmus képével:
8. Definíció:
Legyen egy csoport, egy részcsoport. A
normalizátora az olyan elemek halmaza, amelyek
-t önmagába konjugálják: . Jelölése: .
XI. Feladat:
Mutasd meg, hogy egy részcsoport normalizátora szintén részcsoport!
XII. Feladat:
Legyen egy csoport, egy részcsoport. Mutasd meg, hogy
normalizátora egy -t tartalmazó részcsoport, amelynek
normálosztója!
XIII. Feladat:
Legyen egy csoport, egy részcsoport. Mutasd meg, hogy
normalizátora a lehető legnagyobb az olyan -t tartalmazó
részcsoportok közül, amelyekben normálosztó!
Diagonalizálható mátrixok
9. Tétel:Egy komplex mátrix pontosan akkor diagonalizálható, ha
felcserélhető az adjungáltjával. Ez történik például olyankor, ha
csupa különböző sajátértéke van.
XIV. Feladat:Legyen egy diagonalizálható
mátrix! Mely mátrixok cserélhetők fel -mel? Lásd be, hogy ezek
egy zárt részcsoportot alkotnak! Ezt hívjuk az
centralizátorának.
Lásd be, hgy ha sajátértékei mind
klönbözőek, akkor a centralizátora éppen az átlós mátrixok
részcsoportjának egy konjugáltja!
XV. Feladat:Legyen egy diagonalizálható
mátrix! Határozd meg a konjugáltosztályát!
Átlós mátrixok
10. Konvenció:Egy mátrixot permutáció mátrixnak mondunk, ha
minden sorában egy helyen áll , a többi helyen pedig .
A következő néhány feladatban a permutáció
mátrixok részcsoportját,
jelöli az átlós mátrixok csoportját, és
jelöli az olyan mátrixok részcsoportját, amelyek minden sorában
egyetlen nemnulla elem van.
XVI. Feladat:Lásd be, hogy , és részcsoportok!
XVII. Feladat:Lásd be, hogy !
XVIII. Feladat:Lásd be, hogy normálosztó -ban. Mik lesznek a
mellékosztályok? Mutasd meg, hogy minden mellékosztály pontosan egy
-beli elemet tartalmaz. Mi lesz a faktorcsoport?
Segítség
XIX. Feladat:Mutasd meg, hogy ha egy mátrix
felcserélhető
minden -beli mátrixszal, akkor ő maga is -beli.
(Tehát a centralizátora saját maga.)
XX. Feladat:Mutasd meg, hogy ha egy mátrixra ,
akkor .
(Tenát a normalizátora
. Ez a
legnagyobb részcsoport, amelyben normálosztó.)
XXI. Feladat:Tekintsük azokat a mátrixokat -ben,
amelyek a koordináta tengelyeket saját magukba képezik.
Lásd be, hogy ezek éppen az átlós mátrixok.
XXII. Feladat:Mely résszcsoportok lesznek konjugáltjai?
Segítség
XXIII. Feladat:Tekintsük azokat a mátrixokat, amelyek minden bázisvektort
bázisvektorba (de nem feltétlenül ugyanabba) visznek. Lásd be, hogy
ezek épp a permutáció mátrixok, tehát elemei.
XXIV. Feladat:Tekintsük azokat a mátrixokat -ben,
amelyek minden koordináta tengelyt koordináta tengelybe
(de nem feltétlenül ugyanabba) képeznek. Lásd be, hogy ezek éppen a
-beli mátrixok! Ez ad egy leképezést: minden
transzformációhoz hozzárendeljük azt a permutációt, ahogyan
permutálja a koordináta tengelyeket. Lásd be, hogy ez homomorfizmus.
Mi a magja? Mi a képe? Mi lesz a részcsoport képe?
Háromszögmátrixok
11. Konvenció:
Az alábbi feladatokban jelöli a
háromszögmátrixok halmazát,
tehát az olyan mátrixokét, amelyekben a főátló alatt csupa áll.
jelöli majd az átlós mátrixok csoportját
pedig az olyan háromszögmátrixok halmazát,
amelyekben a főátlóban csupa -es szerepel.
Ezen kívül jelöli azt az alteret, amit az első
bázisvektor feszít ki (tehát azon pontok terét, melyeknek csak
az első koordinátája lehet nem nulla).
XXV. Feladat:Lásd be, hogy ha egy mátrix felcserélhető minden
elemével, akkor ő skalármátrix! (Tehát centralizátora
-ben a skalármátrixok részcsoportja.)
XXVI. Feladat:Lásd be, hogy ha egy mátrixra , akkor . (Tehát a saját normalizátora: ha nem lehet normálosztó egy
nála nagyobb részcsoportban.)
XXVII. Feladat:Lásd be, hogy , és részcsoportok
-ben.
XXVIII. Feladat:Lásd be, hogy normálosztó -ben,
viszont nem az! Határozd meg a részcsoport
konjugáltjait!
XXIX. Feladat:Van egy természetes leképezés: egy mátrix
képét úgy kapjuk meg -ből, hod a főátló feletti elemeket is
kicseréljük nullára. Lásd be, hogy ez a leképezés egy homomorfizmus!
Mi a magja? Mi a képe?
XXX. Feladat:Lásd be, hogy egy mátrix pontosan akkor háromszögmátrix, ha
mindegyik alteret saját magába képezi.
XXXI. Feladat:Minden -re van egy természetes
leképezés: minden transzformáció a teret önmagába viszi,
tehát egyútal a -nek is lineáris transzformációja.
Add meg a leképezéseket mátrixokkal! Lásd be, hogy
homomorfizmusok! Mi a magjuk? Mi a képük?
Segítség
XXXII. Feladat:Minden -re van egy természetes
homomorfizmus:
egy elem a affin alteret a altérbe viszi,
ez lineáris transzformáció az faktortéren.
Add meg a homomorfizmust mátrxokkal! Mi a magja?
Mi a képe?Segítség
XXXIII. Feladat:Minden -re van egy természetes
homomorfizmus:
egy elem a affin alteret a altérbe viszi,
ez lineáris transzformáció a faktortéren.
Add meg az homomorfizmust mátrxokkal! Mi a magja?
Mi a képe?Segítség
Általános feladatok
XXXIV. Feladat:Legyenek csoportok,
és pedig homomorfizmusok!
Ez ad egy természetes
leképezést. Lásd be, hogy ez homomorfizmus!
Mutasd meg, hogy .
XXXV. Feladat:Lásd be, hogy részcsoportok metszete részcsoport,
de részcsoportok szorzata általában nem részcsoport!
XXXVI. Feladat:Adott egy csoport, egy részcsoport, és egy
normálosztó. Lásd be, hogy részcsoport,
és normálosztó -ban! Lásd be, hogy ha is normálosztó -ben,
akkor normálosztó lesz -ben is!
XXXVII. Feladat:Adott egy csoport, egy részcsoport, és egy
normálosztó. Lásd be, hogy az szorzat
részcsoport. Mutasd meg, hogy ha is normálosztó, akkor is
az!