2. Konjugálás, normálosztó, faktor csoport
Megoldások
V. Feladat:
Lásd be, hogy egy részcsoport jobboldali mellékosztályai
egyúttal baloldali mellékosztályok is. Melyik részcsoporté?
Megoldás:Tekintsük a jobboldali mellékosztályt.
tehát ez egyúttal a részcsoport baloldali
mellékosztálya.
Diagonalizálható mátrixok
Átlós mátrixok
XVIII. Feladat:Lásd be, hogy normálosztó -ban. Mik lesznek a
mellékosztályok? Mutasd meg, hogy minden mellékosztály pontosan egy
-beli elemet tartalmaz. Mi lesz a faktorcsoport?
Segítség:A faktorcsoport izomorf -vel.
XXII. Feladat:Mely résszcsoportok lesznek konjugáltjai?
Segítség:Ha másik bázisra térünk át, más transzformációk válnak
diagonálissá. Másképpen: ha az transzformációval konjugálunk,
akkor a kapott részcsoport a koordináta tengelyek helyett azok
-el vett képét hagyja helyben. Ha végigmegyünk az összes
lehetséges bázison, akkor megkapjuk az összes -vel konjugált
részcsoportot.
Háromszögmátrixok
XXXI. Feladat:Minden -re van egy természetes
leképezés: minden transzformáció a teret önmagába viszi,
tehát egyútal a -nek is lineáris transzformációja.
Add meg a leképezéseket mátrixokkal! Lásd be, hogy
homomorfizmusok! Mi a magjuk? Mi a képük?
Segítség:Mátrix alakban: nem más mint az mátrix bal
felső sarkában ülő -es részmátrix.
XXXII. Feladat:Minden -re van egy természetes
homomorfizmus:
egy elem a affin alteret a altérbe viszi,
ez lineáris transzformáció az faktortéren.
Add meg a homomorfizmust mátrxokkal! Mi a magja?
Mi a képe?
Segítség:Egy mátrix képe éppen a jobb alsó sarokban ülő
méretű részmátrix.n\ge i>j\eta_{i,j}:G\to GL(V_i/V_j)g\in Gv+V_jgv+V_jV_i/V_j\eta_{ij}min-j+1$
közé esik.
Általános feladatok