1. Csoportok, részcsoportok, homomorfizmusok
1. Definíció:
Egy
csoport áll egy
alaphalmazból, és három rajta
értelmezett műveletből:
- szorzás: kétváltozós, jelölése általában
- inverz elem: egyváltozós, jelölése általában
- egységelem: nullaváltozós, jelölése általában
Ezektől a műveletektől megköveteljük a következő azonosságokat:
Egy rögzített középpont körüli síkbeli vagy térbeli forgatások
között értelmezhető egy kétváltozós művelet:
a kompozíció
(azaz két forgatás szorzata az a transzformáció,
amikor mindkét forgatást egymás után végrehajtjuk, ez ismét
forgatás lesz). Ezzel a szorzással a forgatások csoportot alkotnak:
egy forgatás inverze az ugyanazon tengely körüli vissza-forgatás,
az egységelem pedig a fokos forgatás, azaz a helyben hagyás.
A forgatásokat megadhatjuk geometriailag: a forgás tengelyével és
szögével. Vagy választhatunk egy (ortonormált)
koordinátarendszert, és megadhatjuk a forgatásokat a mátrixukkal.
A forgatások mátrixai éppen az determinánsú ortogonális
mátixok.
(A) Példák csoportokra
- Egy rögzített középpont körüli síkbeli vagy térbeli
forgatások csoportja, a szorzás a kompozíció.
Jelölés: síkban vagy ,
térben pedig .
- Síkbeli vagy térbeli eltolások csoportja,
a szorzás a kompozíció.
Jelölés: síkban ,
térben .
Ha csak egész koordinátájú vektorokkal engedjük meg az eltolást,
akkor pedig a csoportot kapjuk.
- Szabályos sokszög szimmetriái, a szorzás a kompozíció.
- Szabályos test szimmetriái, a szorzás a kompozíció.
- Sík egybevágóságai, szorzás a kompozíció.
A mozgatások, azaz az irányítástartó egybevágóságok,
szintén csoportot alkotnak.
- A térbeli egybevágóságok, szorzás a kompozíció.
Térbeli mozgatások, szorzás a kompozíció.
- dimenziós valós vagy komplex vektorok az összeadásra nézve.
Jelölés: illetve
- Nem nulla valós vagykomplex számok, a szorzásra nézve.
Jelölés: ,
illetve .
- méretű valós illetve komplex
invertálható mátrixok csoportja, a mátrix szorzással.
Ezekre koordináta-mentesen is gondolhatunk:
mint az dimenziós valós illetve komplex vektortés lineáris
transzformációinak csoportja.
Jelölés: illetve
.
Vegyük észre, hogy
és .
- -es valós, vagy komplex átlós mátrixok,
vagy más szóval diagonális mátrixok csoportja, a mátrix
szorzással. Egy mátrix átlós, ha a főátlón kívüli elemek mind
nullák.
- -es valós, vagy komplex
felső háromszög mátrixok csoportja, a mátrix
szorzással. Egy mátrixot felső háromszög mátrixnak mondunk, ha a
főátló alatti elemei mind nullák.
- Az olyan -es valós, vagy komplex
felső háromszög mátrixok csoportja, amelyekben a főátlóban csupa
áll.
- Egy determinánsú -es valós vagy komplex mátrixok
csoportja, a mátrix szorzással.
Másképpen: a térfogat-tartó lineáris transzformációk csoportja.
Jelölés: illetve
.
Ha pedig csak egész mátrixokat engedünk meg:
.
- -es ortogonális mátrixok csoportja,
a mátrix szorzással. (Csak valós mátrixokkal.)
Jelölés: .
- Egy determinánsú, -es ortogonális mátrixok
csoportja, a mátrix szorzással. (csak valós mátrixokkal.)
Jelölés: .
- -es unitér mátrixok csoportja,
a mátrix szorzással. (Csak komplex mátrixokkal.)
Jelölés: .
- Egy determinánsú -es unitér mátrixok csoportja, a
mátrix szorzással. (Csak komplex mátrixokkal.)
Jelölés: .
- -beli egyenestartó, azaz
affin transzformációk csoportja. Egy affin
transzformációt megadhatunk pl. egy lineáris transzformáció és egy
eltolás kompozíciója. Vagy másképpen: az dimenziós
oszlopvektorok végére odaírunk még egy -edik -es
koordinátát,ezt hívjuk homogén koordináta rendszernek.
Ekkor az lineáris transzformációból
(-es mátrix) és eltolásból
( hosszú oszlop vektor)
álló affin transzformáció nem más, mint az
blokk-mátrixszal (ez -es) való szorzás. Íme:
- Lorentz transzformációk csoportja.
Poincaré transzformációk csoportja.
A Lorentz csoport elemei azok a lineáris transzformációk, amelyek
megőrzik a négyestávolságot. Jelölés: síkban ,
négy dimenzióban . A jelölés a
négyestávolság képletében szereplő pozitív és negatív előjelek
számát mutatja.
- Egy halmaz összes saját magába menő invertálható
leképezése, szorzás a kompozíció.
Az ilyen leképezéseket az halmaz
transzformációinak, vagy permutációinak is
hívjuk, a csoportot pedig
szimmetrikus
csoportnak nevezzük.
A másik jegyzetben részletesen írtam ezekről a csoportokról,
rengeteg feladattal. Ezek egy része órán is szerepelt.
Érdemes elolvasni a következő fejezeteket:
síkbeli forgatások,
síkbeli egybevágóságok,
térbeli forgatások,
mátrix csoportok,
Poincaré és Lorentzcsoport.
3. Definíció:Abel csoport
Egy csoport
és
eleme
felcserélhető, ha
.
A csoport
kmmutatív, vagy másképpen Abel csoport, ha
bármely két eleme felcserélhető.
I. Feladat:
Keresd meg, hogy az (A) Listán melyek
az Abel csoportok!
4. Definíció:
Egy csoport részcsoportja egy olyan
részhalmaz, amelyik zárt a -beli műveletekre.
Világos, hogy is csoport, ugyanazokkal a műveletekel.
Jelölése: .
6. Definíció:Egy csoportelem rendje az a
legkisebb pozitív , amelyre . Ha nincs ilyen kitevő,
akkor végtelen rendű.
Egy részcsoport rendje pedig a
részcsoport elemszáma.
II. Feladat:Lásd be, hogy egy elem rendje megegyezik az általa
generált részcsoport rendjével.
III. Feladat:
Határozd meg a sík forgáscsoportjának, -nek véges
részcsoportjait!
Van-e ezeken kívül más zárt részcsoport?
IV. Feladat:
Határozd meg zárt részcsoportjait!
V. Feladat:
Milyen alakú mátrixok alkotnak részcsoportot -ben?
VI. Feladat:
Határozd meg a sík mozgáscsoportjának véges részcsoportjait!
Van-e ezeken kívül más zárt részcsoport?
Adj meg minél több zárt részcsoportot!
VII. Feladat:
Határozd meg véges részcsoportjait!
Van-e ezeken kívül más zárt részcsoportja?
7. Definíció:
Legyenek
és
csoportok. Egy
leképezés
homomorfizmus, ha művelettartó, azaz teljesíti a
következő azonosságokat:
Figyelem! Az azonoságok bal oldalán a
-beli műveleteket kell
használni, a jobb oldalon viszont a
-belieket.
A
leképezés
izomorfizmus, ha homomorfizmus, és
invertálható. Ha van
és
között izomorfizmus, akkor azt
mondjuk, hogy
és
izomorf csoportok, jelölésben:
.
9. Definíció:
Egy
csoport
homomorfizmus képe
az összes
elem halmaza, ahol
tetszőleges.
Ez egy részcsoport
-ban, jelölése
,
vagy
.
A
homomorfizmus magja pedig az olyan
elemek halmaza, amelyekre
. Ez egy részcsoport
(sőt,
normálosztó -ben.
Jelölése:
, vagy
.
10. Definíció:
Legyen
egy csoport,
pedig egy részhalmaz.
A
csoport
centruma az olyan elemek halmaza, amelyek
felcserélhetők
minden elemével. Az
halmaz
centralizátora az olyan
-beli elemek halmaza, amelyek
felcserélhetők minden
elemével.
VIII. Feladat:
Lásd be, hogy egy csoport centruma mindig részcsoport! Lásd be,
hogy a centrum Abel csoport!
IX. Feladat:
Lásd be, hogy egy csoport minden részhalmazának a centralizátora
részcsoport!
X. Feladat:
Keresd meg az (A) Listán szereplő
csoportok centrumát!