30. Példák

30.1. Feladat. Számítsd ki az Sn és a Bn terek -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

30.2. Feladat. Számítsd ki a g nemű felület egészegyütthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

Ötlet: Keress CW-felbontást, amelyben egy csúcs, 2g él és egy 2-cella van! Az ehhez tartozó lánc-komplexus:

0 ←  ℤ ← 0-  ℤ2g← 0-  ℤ ←  0

30.3. Feladat. Számítsd ki a nem irányítható felületek 2-együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

30.4. Feladat. Számítsd ki a nem irányítható felületek -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

30.5. Feladat. Számítsd ki az n-dimenziós tórusz -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

30.6. Feladat. Legyen F egy g nemű felület! Számítsd ki az S1 × F sokaság -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

30.7. Feladat. Legyenek F és G irányítható felületek! Számítsd ki az F × G sokaság -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

30.8. Feladat. Legyen F egy g nemű felület, ϕ : F F egy diffeomorfizmus! Tekintsük az F × [0, 1] hengert! Ragasszuk össze az alaplapját, F ×{0}-t, a fedőlapjával, F ×{1}-gyel a ϕ leképezés mentén (azaz úgy, hogy minden f F-re az f × 0 pontot a ϕ(f) × 1 ponttal azonosítjuk)! Számítsd ki az így kapott sokaság -együtthatós homológia és kohomológia-csoportjait!

Eredmény: A lánc-komplexus ekvivalens a következővel:

         0           ϕ -Id           0
0 ←  ℤ ← - H1 (F ;ℤ) ←*-  H1 (F ;ℤ) ←-  ℤ ←  0
ahol H1(F; )~
=2g, ϕ * jelöli a ϕ által indukált H1(F; ) H1(F; ) leképezést, Id pedig az identitást.

30.9. Feladat. Tekintsük egy dodekaéder két szemközti oldalát: ezek párhuzamos síkban, 1-
10 fordulattal elfordított állású szabályos ötszögek. Azonosítsuk a két ötszög pontjait úgy, hogy minden pontot a szemközti oldalon neki megfelelő, 1-
10 fordulattal elforgatott ponttal azonosítunk! Ismételjük meg ezt az azonosítást mind a hat szemköztes oldalpárra. Az így kapott 3-dimenziós sokaság a Poincaré homológia gömb. Számítsd ki a -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

30.10. Feladat. Legyen G SO(3) a szabályos dodekaéder forgás-szimmetriáinak csoportja! Lásd be, hogy az SO(3)∕G sokaság diffeomorf a 30.9. Feladatban megkonstruált Poincaré homológia gömbbel. Számítsd ki a homotópia csoportjait!

Ötlet: A Poincaré homológia gömb univerzális fedőtere S3.

30.11. Feladat. Módosítsd a 30.9. Feladatbeli konstrukciót úgy, hogy azonosításkor 1-
10 fordulat helyett 3-
10 fordulatot használsz! Az így kapott 3-sokaságot Seifert-Weber sokaságnak hívják. Számítsd ki a -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

30.12. Feladat. A Seifert-Weber sokaság univerzális fedőtere a 3-dimenziós Bolyai-geometria (lásd itt). Számítsd ki a Seifert-Weber sokaság homotópia csoportjait!

30.13. Feladat. Módosítsd a 30.9. Feladatbeli konstrukciót úgy, hogy azonosításkor 1-
10 fordulat helyett 5-
10 = 1
2 fordulatot használsz! Lásd be, hogy az így kapott sokaság éppen ℝℙ3. Ez a konstrukció megadja a projektív tér egy CW-felbontását (nem a szokásosat). Számítsd ki a felbontáshoz tartozó -együtthatós CW-homológia- és CW-kohomológia-csoportokat! Számítsd ki a felbontáshoz tartozó 2-együtthatós CW-homológia- és CW-kohomológia-csoportokat is!

30.14. Feladat. Legyenek p,q relatív prím pozitív egészek! Osszuk a háromdimenziós golyó peremét két félgömbre: É jelöli az északi (zárt) félgömböt, D pedig a délit. Tekintsük azt a ϕ : É D leképezést, amelyik először elforgatja az É félgömböt a tengelye körül 2πq-
p szöggel, majd tükrözi a határoló kör síkjára. Azonosítsunk minden x É pontot a neki megfelelő ϕ(x) D ponttal! Az így kapott sokaság az L(p,q) Lencse tér. Számítsd ki a -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

30.15. Feladat. Legyen S3 2 az egységgömb a komplex síkon. Jelölje x,y a koordinátákat 2-en. Tekintsük a

     3     3              ( 1p2π   qp2π )
ϕ : S  →  S  ,  ϕ(x, y) =  e   x,e   y .
elforgatást! Lásd be, hogy ez egy p-rendű elforgatás, tehát egy p-hatást generál a gömbön! Lásd be, hogy S3/ p diffeomorf az L(p,q) lencse térrel (lásd a 30.14. Feladatot)! Számítsd ki a Lencse-tér homotópia csoportjait!

Ötlet: A konstrukcióból következik, hogy a Lencse tér univerzális fedőtere a gömb.

30.16. Feladat. Mutasd meg, hogy S3 és S1 × S2 is szerepel a lencse terek között!

30.17. Feladat. Két tömör tórusz peremét azonosítjuk egy homeomorfizmussal. Mutasd meg, hogy így egy lencse teret kapunk! Mutasd meg, hogy minden lencse tér megkapható ezzel a konstrukcióval!

30.18. Feladat. A 30.17. Feladatban az L(p,q) lencs teret felbontottuk két tömör tórusz uniójára. Írd fel a felbontáshoz tartozó Mayer-Vietoris sorozatokat! Számítsd ki ezek segítségével a lencse terek -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!

30.19. Feladat. Szférikus 3-sokaságnak hívjuk azokat az irányítható sokaságokat, amelyek univerzális fedőtere S3. Tehát a szférikus sokaságok S3∕G alakban írhatók, ahol G SO(4) egy olyan véges részcsoport, amelyik fixpont-mentesen hat az S3 egység-gömbön! A wikipedia-n megtalálod az összes szóba jövő részcsoportot. Számítsd ki a szférikus sokaságok -együtthatós homológia- és kohomológia-csoportjait!.