28. A Leray-Hirsch tétel

Direkt szorzatok kohomológia-gyűrűjéről a Künneth tételek adnak nagyon sok információt (lásd a 25. és a 26. szakaszokat). A direkt szorzat egyik általánosítása a nyaláb fogalma (lásd a 12.2. Definíciót). Belátjuk, hogy bizonyos feltételek mellett a nyalábok kohomológia-csoportjai is könnyen számolhatók. A gyűrű-struktúráról viszont ez a módszer nem ad számot.

28.1. Tétel (Leray-Hirsch). Legyen F→iE→pM egy nyaláb (12.2. Definíciót), és R egy kommutatív gyűrű! A p* kohomológia-homomorfizmus segítségével a H*(E; R) kohomológia-gyűrű egy H*(B; R)-modulusnak tekinthető (lásd a 27.10. Következmény (b) pontját). Tegyük fel, hogy

(a)
Hn(F; R) végesen generált szabad R-modulus minden n-re,
(b)
vannak olyan cj Hkj(E; R) kohomológia osztályok, amelyeknek tetszőleges F rostra való i*c j megszorításai együttvéve a H*(F; R) szabad R-modulus bázisát alkotják.

Ekkor H*(E; R) egy szabad H*(B; R)-modulus, a c j osztályok egy bázist alkotnak. Az izomorfizmust megadjuk a csésze-szorzat segítségével:

     *            *        ~=     *           (    *  )    *
Φ : H (B; R) ⊗R H  (F ;R )- →  H (E; R ),  Φ  b ⊗ i cj = p b ∩ cj.

Bizonyítás. Most csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor B egy véges-dimenziós CW-komplexus, az általános eset könnyen visszavezethető erre. Ha dim(B) = 0, akkor E felbomlik a rostjainak diszjunkt uniójára, tehát H*(E; R)~= bBH*(F; R), és a tétel igaz ebben az esetben.

Legyen most dim(B) = n > 0, a tételt n szerinti indukcióval bizonyítjuk. Válasszunk minden n-cella belsejében egy tömör golyót, legyen X B a golyók uniója, és legyen Y B az X halmaz komplementumának lezártja. Legyen továbbá X˜ = p-1(X) és = p-1(Y ).

Látható, hogy XY a golyók peremének uniója, azaz (n-1)-dimenziós, Y pedig homotóp ekvivalens a B komplexus (n - 1)-vázával, tehát szintén (n-1)-dimenziós. Mivel a golyók pontrahúzhatók, X homotóp ekvivalens egy 0-dimenziós CW-komplexussal. Az indukciós feltétel miatt tehát a tétel állítása igaz az F ˜X X, az F Y és az F (X˜ ) (X Y ) nyalábokra. Az alábbi diagrammon a bal oldali oszlop a B = X Y felbontáshoz, a jobboldali pedig az E = X˜ felbontáshoz tartozó Mayer-Vietoris sorozatból származik:

                    |                                         |
                    |                                         |
       Hn (X ∩ Y ;R ) ⊗ Hm (F ;R )---------Φ----------Hn+m  ( ˜X ∩ Y˜;R )
                    |                                         |
  (                 |j*  )                                    |j*
   Hn (X; R ) ⊕ Hn (Y ;R ) ⊗ Hm (F ;R )----Φ----   n+m  ˜         n+m  ˜
                    |                            H     (X; R ) ⊕ H     (Y ;R )
                    |i*                                        |i*
           n           m        -----------Φ------------  n+m
         H  (B; R ) ⊗|H  (F ;R)                         H     (E; R)
                    |δ*                                       |δ*
        n-1                m       --------Φ---------  n+m -1 ˜    ˜
      H    (X ∩ Y ;R|) ⊗ H  (F ;R )                  H       (X ∩ Y ;R )
                    |j*                                       |j*
(                          )               Φ
 Hn -1(X; R ) ⊕ Hn - 1(Y ;R ) ⊗ Hm  (F ;R )----- Hn+m - 1(X ˜; R ) ⊕ Hn+m -1(˜Y;R )
                    |                                         |
                    |                                         |
Az i*, j*, δ* jelöléseket a 21.5. Tételből vettük át. A csésze-szorzat funktorialitása miatt az i*-ot és a j*-ot tartalmazó téglalapok kommutatívak. A δ*-ot tartalmazó téglalapok pedig a 8.6. Tétel miatt kommutatívak (lásd még a 27.6. Tételt is). Az indukciós feltevés miatt a diagrammon látható öt Φ-vel jelölt homomorfizmus közül négy (a felső kettő és az alsó kettő) izomorfizmus. Az 5-lemma (lásd a 2.9. Lemmát) miatt tehát a középső Φ is izomorfizmus.

28.2. Feladat. Mondd ki, és bizonyítsd be a Leray-Hirsch tétel tér-párokra vonatkozó változatát!

Ötlet. Legyenek (F,F0) és (B,B0) tér-párok, és p : (E,E0) B egy (F,F0)-nyaláb (lásd a 12.3. Definíciót). Érdemes három változatot is kimondani: az (E,E0), az (E,p-1(B 0)), illetve az (E,E0 p-1(B 0)) tér-párok kohomológiáira!