27.1. Konstrukció (csésze szorzat). Legyen X egy topológikus tér, A,B ≤ X alterek, M és N modulusok egy R gyűrű fölött. Tegyük fel, hogy {A,B} jól vág (21.2. Definíció). Megépítjük az alábbi csésze szorzás homomorfizmusokat (angolul: cup product):

Mindkét sorozat minden változóban természetes transzformáció.

Az alábbi diagramon az első nyíl a külső szorzás (8.4. Feladat), a második a 22.2. Következményből, a harmadik pedig az X → X × X átlós beágyazásból származó lánc-homomorfizmus:

Erre, illetve az A = B = ∅,M = N = R speciális esetre alkalmazzuk a 8.1. Tételt, így kapjuk a csésze szorzást.

27.2. Feladat. A 24.1. Konstrukció ad egy

homomorfizmust, ezt komponáljuk az X → X×X átló menti visszahúzással. Lásd be, hogy éppen a 27.1. Konstrukcióbeli csésze szorzást kapjuk!

27.3. Konstrukció (sapka szorzat). Legyen X egy topológikus tér, A,B ≤ X alterek, M és N modulusok egy R gyűrű fölött. Tegyük fel, hogy {A,B} jól vág (21.2. Definíció). Megépítjük az alábbi sapka szorzás homomorfizmusokat (angolul: cap product):

Mindkét sorozat minden változóban természetes transzformáció.

Az alábbi diagramon az első lánc-homomorfizmus az X → X × X átlós leképezésből, a második az Eilenberg-Zilber tételből (22.2. Következmény) származik, a harmadik pedig a Hom Δ⋅(X,A),M-beli homomorfizmusok kiértékelése a Δ⋅(X,B)-beli elemeken:

27.4. Tétel. Legyenek (X,A) és (Y,B) tér-párok, és tegyük fel, hogy {X × B,A × Y } jól vág (21.2. Definíció). Lelölje f : X × Y → X és g : X × Y → Y a vetítéseket. Ekkor tetszőleges a ∈ H^p(X,A; M) és b ∈ H^q(X,B; N) kohomológia-osztályokra:

Másrészt, ha X = Y , akor a feltétel miatt {A,B} jól vág, és a ϕ : X → X × X átlós leképezés (ϕ(x) = (x,x)) segítségével:

27.5. Tétel (Szorzat-azonosságok). Rögzítsünk egy R gyűrűt. Az alábbi azonosságokban minden homológiát és kohomológiát R-modulus együtthatókkal számolunk. a,b,c,d kohomológia-osztályokat, x,y pedig homológia-osztályokat jelölnek, 1 jelöli a konstans 1 kohomológia-osztályt (17.4. Definíció, olyan esetben, ha az együttható-csoport éppen R), f terek vagy tér-párok közti folytonos függvény, i^*, δ^* és δ _* pedig a 21.5. Tétel jelölései valamilyen Mayer-Vietoris sorozatban. Nem részletezzük, hogy pontosan melyik térhez vagy térpárhoz tartoznak — az azonosságok minden olyan esetben érvényesek, ha a bennük előírt műveletek elvégezhetők:

27.6. Definíció. Legyen (X,A) egy tér-pár, M modulus az R gyűrű felett. Bevezetjük a

jelöléseket. Az elsőt kohomológia-gyűrűnek, a másikat pedig homológia-modulusnak hívjuk. Ha f egy térpárok közti leképezés, akkor jelöli a hozzá tartozó homomorfizmusokat. Ha A = ∅, akkor kihagyható a jelölésből: H^*(X; R), H _*(X; M). Ha egyértelmű, hogy melyik gyűrűről illetve modulusról van szó, akkor az együttható is elhagyható: H^*(X,A), H^*(X), H^*(f) illetve H _*(X,A), H_*(X), H_*(f).

27.7. Következmény. Rögzítsük az R gyűrűt és az M modulust! Minden kohomológia R együtthatóval, minden homológia M együtthatóval értendő. A tenzor szorzásokat R felett végezzük.

(a)

Minden (X,A) tér-párra H^*(X,A) a csésze szorzással egy fokszámozott, ferdén kommutatív R-algebra, H_*(X,A) a sapka-szorzással egy fokszámozott H^*(X,A)-modulus.

(b)

Minden f : (X,A) → (Y,B) pár-leképezésre H^*(f) egy fokszámozott R-algebra homomorfizmus. Ez fokszámozott H^*(Y,B)-modulussá teszi az (X,A) pár homológiáját is, és H _*(f) egy H^*(Y,B)-modulus homomorfizmus.

(c)

Legyenek (X,A) és (Y,B) tér-párok, tegyük fel, hogy A × Y,X×B jól vág (21.2. Definíció). Tekintsük az (X,A)×(Y,B) szorzat-párt (11.1. Definíció). R-algebrák tenzor szorzata ismét R-algebra, a kohomológia külső szorzás (24.1. Konstrukció) egy fokszámozott algebra-homomorfizmus: Ez fokszámozott H^*(X,A)⊗H^*(Y,B)-modulussá teszi a szorzat-pár homológiáját is, a homológia külső szorzás (24.2. Feladat) egy H^*(X,A) ⊗ H^*(Y,B)-modulus homomorfizmus:

(d)

Legyen most S egy R-algebra, és N egy S-modulus, és ϕ : M ⊗ S → N egy S-modulus homomorfizmus. Ez indukál egy S-algebra homomorfizmust: és egy H^*(X,A; R) ⊗ S-modulus homomorfizmust: