27. Szorzat struktúrák

27.1. Konstrukció (csésze szorzat). Legyen X egy topológikus tér, A,B X alterek, M és N modulusok egy R gyűrű fölött. Tegyük fel, hogy {A,B} jól vág (21.2. Definíció). Megépítjük az alábbi csésze szorzás homomorfizmusokat (angolul: cup product):

Hp (X; R) ⊗ Hq (X; R ) -∪→  Hp+q (X; R )
   (        )      (        )  ∪       (                   )
Hp  X, A; M   ⊗ Hq  X, B; N  - →  Hp+q  X, (A ∪ B );M  ⊗ N
Mindkét sorozat minden változóban természetes transzformáció.

Az alábbi diagrammokon az első nyíl a külső szorzás (8.4. Feladat), a második a 22.2. Következményből, a harmadik pedig az X X × X átlós beágyazásból származó lánc-homomorfizmus:

Hom  (Δ (X ),R ) ⊗ Hom  (Δ (X ),R )
        ⋅        |         ⋅
          (                  )
     Hom   Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X ),R
                 |
            (              )
       Hom   Δ ⋅(X| × X ),R
                        )
              (
         Hom   Δ ⋅(X ),R
A diagrammon szereplő leképezések kompozíciójára alkalmazzuk a 8.1. Tételt, így kapjuk a csésze szorzást. A térpárokra vonatkozó csésze szorzást pedig az alábbi diagrammból kapjuk:
        (            )        (            )
   Hom   Δ ⋅(X, A ),M   ⊗| Hom   Δ ⋅(X, B ),N

          (                             )
     Hom   Δ ⋅(X, A) ⊗ Δ ⋅(X, B ),M  ⊗ N
                       |
     (   (                         )         )
Hom    Δ ⋅X  × X, (A × X  ∪ X ×  B ),M  ⊗  N
                       |
             (  (           )        )
        Hom   Δ ⋅X, (A ∪ B ) ,M  ⊗ N

27.2. Feladat. A 24.1. Konstrukció ad egy

  p             q            ×    p+q(       (             )       )
H  (X, A;M  )⊗H  (X, B; N )- →  H     X ×X,   X ×B  ∪A ×X   ;M ⊗N
homomorfizmust, ezt komponáljuk az X X×X átló menti visszahúzással. Lásd be, hogy éppen a 27.1. Konstrukcióbeli csésze szorzást kapjuk!

27.3. Konstrukció (sapka szorzat). Legyen X egy topológikus tér, A,B X alterek, M és N modulusok egy R gyűrű fölött. Tegyük fel, hogy {A,B} jól vág (21.2. Definíció). Megépítjük az alábbi sapka szorzás homomorfizmusokat (angolul: cap product):

  p(    )      (     )  ∩       (     )
H   X; R  ⊗ Hn  X; R   -→  Hn -p X; R
   (        )      (              )  ∩       (             )
Hp  X, A; M   ⊗ Hn  X, (A ∪ B );N   -→  Hn -p X, B; M  ⊗ N
Mindkét sorozat minden változóban természetes transzformáció.

Az alábbi diagrammon az első lánc-homomorfizmus az X→δX × X átlós leképezésből, a második az Eilenberg-Zilber tétel (22.2. Következmény) τ* lánc-ekvivalenciájából származik, a harmadik leképezés pedig a Hom (Δ(X),R)-beli homomorfizmusok kiértékelése az első Δ(X) elemein, tehát egy f x y alakú szorzathoz az f(x)y elemet rendeli:

          (         )
     Hom   Δ ⋅(X ),R  ⊗  Δ⋅(X )
                 |id ⊗δ*
       (         )
  Hom   Δ ⋅(X ),R| ⊗ Δ ⋅(X  × X )
     (         )  id ⊗τ*
Hom   Δ ⋅(X ),R   ⊗ Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X )
                 |eval⊗id

            R ⊗ Δ ⋅(X )
Fontos észrevétel, hogy amíg az első két leképezés lánc-homomorfizmus, a harmadik, eval id, csak fokszámtartó abelcsoport homomorfizmus, de nem feltétlenül kommutál a komplexusok határ-homomorfizmusával.

A tenzor-szorzat totális komplexusában most alsó indexeket fogunk használni. Az egyik tényező felső indexet használ — szokásunkhoz híven ezt negatívan számítjuk a totális komplexus indexébe. Tehát a 8.1. Tétel és a diagrammon szereplő első két lánc-homomorfizmus segítségével kapunk egy

  p                             (-----(---------)------------------)
H  (X; R ) ⊗R Hn (X; R ) →  Hn- p Hom   Δ ⋅(X ),R   ⊗ Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X )
homomorfizmust. Könnyű ellenőrizni, hogy eval id is indukál egy
     (     (         )                  )
Hn- p Hom   Δ ⋅(X ),R  ⊗ Δ ⋅(X ) ⊗ Δ ⋅(X ) →  Hn -p(X; R )
homomorfizmust, annak ellenére, hogy ő maga nem lánc-homomorfizmus. Az utóbbi két homomorfizmus kompozíciója a sapka szorzás. A térpárokra vonatkozó sapka szorzást pedig az alábbi diagrammból kapjuk:
            (            )      (          )
       Hom   Δ ⋅(X,A ),M   ⊗|Δ ⋅ X, (A  ∪ B ) ⊗ N
     (            )      (   id ⊗δ*                  )
Hom   Δ ⋅(X, A ),M   ⊗ Δ ⋅ X × X, (A ×  Y ∪ X  × B ) ⊗ N
                            |id ⊗τ
          (            )        *
     Hom   Δ ⋅(X, A ),M   ⊗  Δ|⋅(X, A ) ⊗ Δ ⋅(X, B ) ⊗ N
                             eval⊗id
                   M  ⊗ Δ ⋅(X, B ) ⊗ N

27.4. Feladat. Lást be, hogy a 27.3. Konstrukcióban szereplő eval id leképezés, annak ellenére, hogy nem lánc-homomorfizmus, mégiscsak indukál egy leképezést a megfelelő homológia csopotok között!

27.5. Tétel. Legyenek (X,A) és (Y,B) tér-párok, és tegyük fel, hogy {X × B,A × Y } jól vág (21.2. Definíció). Lelölje f : X × Y X és g : X × Y Y a vetítéseket. Ekkor tetszőleges a Hp(X,A; M) és b Hq(X,B; N) kohomológia-osztályokra:

         *       *
a × b = f (a) ∪ g (b)
Másrészt, ha X = Y , akor a feltétel miatt {A,B} jól vág, és a ϕ : X X × X átlós leképezés (ϕ(x) = (x,x)) segítségével:
a ∪ b = ϕ*(a × b)

27.6. Tétel (Szorzat-azonosságok). Rögzítsünk egy R gyűrűt. Az alábbi azonosságokban minden homológiát és kohomológiát R-modulus együtthatókkal számolunk. a,b,c,d kohomológia-osztályokat, x,y pedig homológia-osztályokat jelölnek, 1 jelöli a konstans 1 kohomológia-osztályt (17.4. Definíció, olyan esetben, ha az együttható-csoport éppen R), f terek vagy tér-párok közti folytonos függvény. Nem részletezzük, hogy pontosan melyik térhez vagy térpárhoz tartoznak — az azonosságok minden olyan esetben érvényesek, ha a bennük előírt műveletek elvégezhetők:

            deg(b)deg(a)
a ∪ b = (- 1 )        b ∪ a

(a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c), (a ∪ b) ∩ x = a ∩ (b ∩ x)

 *           *     *      ( *
f (a ∪ b) = f a ∪ f b,  f* f a ∩ x) = a ∩ f*x

1 ∪ a = a ∪ 1 = a,  1 ∩ x = x ∩ 1 = x

(a × b) ∪ (c × d) = (- 1)deg(b)deg(c)(a ∪ c) × (b ∪ d)

                        deg(a)[deg(y)-deg(b)]
(a × x ) ∩ (b × y) = (- 1)              (a ∩ x) × (b ∩ y)

Ötlet: Minden következik a korábbi eredményekből: 8.6. Tétel,  22.6. Feladat,  22.7. Következmény,  22.9. Konstrukció,  27.5. Tétel.

Most megvizsgáljuk, mi a kapcsolat a különféle szorzások, és a Mayer-Vietoris sorozatokban (21.5. Tétel) szereplő * illetve δ* homomorfizmusok között. A Mayer-Vietoris sorozat egy rövid egzakt komplexus-sorozathoz tartozó hosszú egzakt sorozat, tehát a 8.3. Tételtől és a 8.6. Tételtől várhatjuk, hogy a kívánt azonosságokat adják.

27.7. Tétel (Sapka-szorzás és a Mayer-Vietoris sorozat). Legyenek A,B alterek egy X topológikus térben. Tegyük fel, hogy {A,B} jól vág. Legyen xAB Hn(X,A B; ) egy tetszőleges homológia osztály, jelölje xA, xB és xAB az xAB képét a Hn(X,A), Hn(X,B) illetve Hn(X,A B) homológia-csoportokban. Az alábbi két sora az (X,A) (X,B) = (X,A B) fedéshez, illetve az X X = X fedéshez tartozó Mayer-Vietoris sorozatok részlete (lásd a 21.5. Tételt), a diagramm előjel erejéig kommutatív:

                                                               δ*
Hp (X, A  ∪ B) -----Hp (X, A ) ⊕ Hp (X, B )---- Hp(X, A ∩ B ) -----Hp+1 (X, A ∪ B )
      |∩xA∪B                  |(∩x ,∩(-x ))           |∩xA∩B               |∩xA∪B
      |                       |   A    B             |         ∂*         |
  Hn -p(X )-------- Hn -p(X ) ⊕ Hn -p(X )--------Hn -p(X )----------Hn - p- 1(X )

27.8. Feladat. Keresd meg a 27.7. Tétel egy csésze-szorzásra vonatkozó változatát!

27.9. Definíció. Legyen (X,A) egy tér-pár, M modulus az R gyűrű felett. Bevezetjük a

  *            ⊕     n                                    ⊕
H  (X, A;R ) =     H  (X, A;R )     és    H *(X, A;M  ) =    Hn (X, A; M )
                n                                          n
jelöléseket. Az elsőt kohomológia-gyűrűnek, a másikat pedig homológia-modulusnak hívjuk. Ha f egy térpárok közti leképezés, akkor
           ⊕                                    ⊕
H *(f ;R ) =    Hn (f ;R)     és    H *(f;M  ) =    Hn (f ;M )
             n                                   n
jelöli a hozzá tartozó homomorfizmusokat. Ha A = , akkor kihagyható a jelölésből: H*(X; R), H *(X; M). Ha egyértelmű, hogy melyik gyűrűről illetve modulusról van szó, akkor az együttható is elhagyható: H*(X,A), H*(X), H*(f) illetve H *(X,A), H*(X), H*(f).

A 27.6. Tétel azonosságaiból azonnal látható:

27.10. Következmény. Rögzítsük az R gyűrűt és az M modulust! Minden kohomológia R együtthatóval, minden homológia M együtthatóval értendő. A tenzor szorzásokat R felett végezzük.

(a)
Minden (X,A) tér-párra H*(X,A) a csésze szorzással egy fokszámozott, ferdén kommutatív R-algebra, H*(X,A) a sapka-szorzással egy fokszámozott H*(X,A)-modulus.
(b)
Minden f : (X,A) (Y,B) pár-leképezésre H*(f) egy fokszámozott R-algebra homomorfizmus. Ez fokszámozott H*(Y,B)-modulussá teszi az (X,A) pár homológiáját is, és H *(f) egy H*(Y,B)-modulus homomorfizmus.
(c)
Legyenek (X,A) és (Y,B) tér-párok, tegyük fel, hogy {A × Y,X×B} jól vág (21.2. Definíció). Tekintsük az (X,A)×(Y,B) szorzat-párt (11.1. Definíció). R-algebrák tenzor szorzata ismét R-algebra, a kohomológia külső szorzás (24.1. Konstrukció) egy fokszámozott algebra-homomorfizmus:
  *           *        ×    *(               )
H  (X, A) ⊗ H  (Y,B ) -→  H   (X, A ) × (Y, B)
Ez fokszámozott H*(X,A)H*(Y,B)-modulussá teszi a szorzat-pár homológiáját is, a homológia külső szorzás (24.2. Feladat) egy H*(X,A) H*(Y,B)-modulus homomorfizmus:
                       ×     (               )
H *(X, A) ⊗ H *(Y,B )- →  H * (X, A) × (Y,B )
(d)
Legyen most S egy R-algebra, és N egy S-modulus, és ϕ : M S N egy S-modulus homomorfizmus. Ez indukál egy S-algebra homomorfizmust:
  *                   *
H  (X, A; R ) ⊗ S → H  (X, A; R)
és egy H*(X,A; R) S-modulus homomorfizmust:
H  (X, A; M ) ⊗ S →  H (X, A; S)
  *                    *