19. Čech kohomológia

19.1. Definíció. Egy X topológikus tér {Ui}iI nyílt fedését jó fedésnek mondjuk, ha minden J I véges részhalmazra a {Ui}iI metszet vagy üres, vagy pontrahúzható.

19.2. Konstrukció. Legyen X egy topológikus tér, és U = {Ui}iI nyílt halmazok egy rendszere. Az U idege a következő, N(X,U)-vel jelölt szimplíciális komplexus: Minden (n + 1)-elemű J I részhalmazhoz, amelyre iJUitartozik egy ΔJ-vel jelölt n-szimplex, melynek csúcsait megcímkézzük J elemeivel. Ezért n 1 esetén a ΔJ minden oldalán egy n-elemű J′ ⊂ J részhalmazt olvashatunk: ezt az oldalt a ΔJ szimplexhez ragasztjuk, mégpedig úgy, hogy az azonosan címkézett csúcsok illeszkedjenek egymáshoz.

19.3. Definíció. Legyen X egy topológikus tér, és U egy jó fedése. A fedéshez tartozó G együtthatójú Čech komplexus:

ˇ⋅(       )        (   Szimpl(         )  )
C  X, U ;G  = Hom    Δ ⋅     N (X, U ) ,G
Ennek homológiáit Čech kohomológiának hívjuk:
                (   (       ))
Hˇn (X; G ) = Hn  Cˇ⋅ X, U;G
Vegyük észre, hogy ez nem más, mint az N(X,U) tér G együtthatójú szimplíciális kohomológiája.

19.4. Megjegyzés. A 19.3. Definíció csak akkor használható, ha az X térnek létezik jó fedése. Természetesen létezik ennél általánosabb definíció is, de nekünk most elég ez a speciális eset.

19.5. Tétel. Legyen X egy topológikus tér, amelynek létezik jó fedése. A Čech kohomológia nem függ a jó fedéstől (tehát a jelölés korrekt). Bármely G együttható csoportra, és minden U fedésre a Č(X,U; G) Čech komplexus lánc-ekvivalens a Hom (Δ (X),G) kolánc komplexussal, tehát minden n-re

ˇ n       ~   n
H  (X; G )= H   (X; G ).
A lánc-ekvivalencia, és így az izomorfizmus is természetes transzformáció (mind a két változóban).

Először adunk egy algebrai bizonyítást, utána egy geometriait. A geometriai bizonyítás hosszabb, de elemibb.

Algebrai bizonyítás. Elég az izomorfizmust belátni, abból már következik a függetlenség is. Idézzük fel a 16.7. Lemmában szereplő SU(X) S(X) rész-komplexust! Ehhez tartozik egy Δ U(X) Δ(X) részkomplexust, melyet a SU(X)-beli szimplexek generálnak. A 16.7. Lemma miatt ΔU(X)~=Δ (X) lánc-ekvivalensek. A 19.5. Tétel tehát azonnal következik az alábbi lánc-ekvivalenciából:

 ˇ⋅(       ) ~      (  U       )
C   X, U;G   = Hom   Δ ⋅ (X ),G
Abban az esetben, ha U egyetlen nyílt halmazból áll, ez következik a 17.3. Tétel (d) pontjából. Az általános eset pedig azonnal következik a 3.24. Következményből, csak a megfelelő kettős komplexust kell kitölteni — amit az olvasóra bízunk!

19.6. Feladat. Töltsd ki az előző bizonyítás végén felbukkanó kettős komplexust! Lásd be, hogy a sorok és az oszlopok valóban egzaktak!

Ötlet: Minden (p + 1)-elemű J I részhalmazhoz készítsd el a

     (   (⋂      )   )
Hom   Δq    j∈JUj ,G
csoportot. Ezek direkt szorzata (rögzített p,q értékre) legyen a 3.24. Következményben keresett Mp,q csoport! Lásd be a sorok és az oszlopok egzaktságát! Az egzaktság bizonyításában felhasználhatod, hogy a tétel igaz abban az esetben, amikor U egyelemű.

19.7. Konstrukció. Legyen X egy topológikus tér, és U = {Ui}iI egy jó fedése. Jelölje N*(X,U) az N(X,U) komplexus súlyponti felosztását. Tetszőleges J0 J1 ⋅⋅⋅ Jn I véges részhalmaz-sorozatra jelölje

  *            *(    )
Δ J0,J1,...Jn ⊂  N   X, U
azt a szimplexet, amit az N(X,U)-beli ΔJ0 ΔJ1 ΔJ2⋅⋅⋅ ΔJn egymásba ágyazott szimplexek súlypontjai feszítenek ki. Dimenzió szerinti indukcióval építünk egy
      (     ) ~   *(     )
ev-: N X, U  =  N   X, U  - →  X
folyonos leképezést az alábbi tulajdonsággal:
   (         )   ⋂n            (     )
ev- Δ *J0,J1,...Jn  ⊆    UJj     N * X, U   minden  szimplex ére.
                 j=0
(4)

Tegyük fel, hogy a ΔJ0,J1,Jn* szimplex peremén már elkészült az ev függvény, és ott teljesíti a (4) követelményt. Mivel a j=0nU Jj nyílt halmaz pontrahúzható, a függvénytkönnyű beterjeszteni a szimplex belsejébe is.

19.8. Feladat. Lásd be, hogy a (4) tulajdonság homotópia erejéig egyértelműen meghatározza az  ev : N(X,U) X  függvényt!

19.9. Lemma. Legyen X egy topológikus tér, és U = {Ui}iI egy jó fedése. Legyen továbbá Y egy véges szimplíciális komplexus és f : Y X egy folytonos függvény.

(a)
Ekkor létezik egy ϕ : Y N(X,U) folytonos leképezés, melyre az ev ϕ kompozíció homotóp f-fel.
(b)
Tegyük fel, hogy A Y egy rész-komplexus, ϕA :N(X,U) egy olyan szimplíciális leképezés, melyre az ev ϕA kompozíció megegyezik az f függvény A-ra való megszorításával. Ilyenkor van olyan ϕ is, amelyik az A halmazon megegyezik ϕA-val.

Bizonyítás. Elég a (b) állítást bizonyítani, az (a) ennek speciális esete (üres A-val). A feltétel miatt f az A minden szimplexét beleképezi valamelyik U-beli nyílt halmazba. A Lebesgue Lemma segítségével az A komplementerében lévő szimplexeket is felbontjuk kisebb szimplexekre úgy, hogy f az új szimplexek mindegyikét beleképezze valamelyik U-beli nyílt halmazba. Jelölje az Y teret ezzel az új szimplex felbontással, * pedig az súlyponti felosztását. Mivel f(*) kompakt, van olyan Ĩ I véges részhalmaz, melyre {U i}iĨ lefedi f(*)-ot. Először definiáljuk a ϕ függvényt az * csúcsain.

Legyen P az * tetszőleges csúcsa, tehát egy σ Y szimplex súlypontja. Jelölje Jσ Ĩ azon j Ĩ indexek halmazát, melyekre f(σσ) Uj. Legyen ϕ(P) a ΔJσ N(X,U) szimplex súlypontja, ami az N*(X,U) komplexus egyik csúcsa.

Legyen most δ az * tetszőleges n-szimplexe. Enne csúcsai bizonyos σ0 σ1 ⋅⋅⋅σn  -beli szimplexek súlypontjai. A ϕ függvény a δ csúcsait éppen a ΔJσ 0,Jσ1,Jσn  N*(X,U)-beli szimplex csúcsaiba viszi, kiterjesztjük lineárisan az egész δ szimplexre. Ezt minden szimplexre elvégezve megkapjuk a keresett ϕ függvényt.

19.10. Feladat. Lásd be, hogy a 19.9. Lemma bizonyításában a ϕ függvény jól definiált! ha δ12 két szimplex -ban, akkor a δ1-re való kiterjesztés a δ1 δ2 szimplexen megegyezik a δ2-re való kiterjesztéssel.

Ötlet: Ha δ1 a δ szimplex egyik oldala, akkor ϕ-t a δ1 szimplexen kétféleképpen is definiáltuk: δ-ra, illetve δ1-ra való kiterjesztéssel. Miért ugyanaz a két kiterjesztés?

19.11. Feladat. Lásd be, hogy a 19.9. Lemma bizonyításában a ϕ függvény az A halmazon megegyezik ϕA-val!

19.12. Következmény. Legyen X egy topológikus tér, és U = {Ui}iI egy jó fedése. Az ev : N(X,U) X leképezés egy gyenge homotóp ekvivalencia.

A 19.5. Tétel geometriai bizonyítása. Azonnal következik a definícióból és a 19.12. Következményből.