16. Szinguláris szimplexek

16.1. Definíció. Tekintsük az n+1 térben az e i bázis-vektorok által kifeszített n-dimenziós szimplexet — a csúcsokat az ei-kkel azonos sorrendben írjuk, ez adja az irányítást. Ezt a szimplexet Δn-nel jelöljük, és standard n-szimplexnek hívjuk.

16.2. Definíció. Legyen X egy topológikus tér. Egy n-dimenziós n-dimenziós szinguláris szimplex X-ben nem más, mint egy folytonos függvény ϕ : Δn X. A ϕ-nek n + 1 oldala van, ezek a következő (n - 1)-dimenziós szimplexek. Minden 0 i n értékre tekintjük azt a Δn-1 Δn lineáris leképezést, amelyik az e 0,e1,ei-1 Δn-1 csúcsokat Δn ugyanilyen nevű csúcsaiba képezi, az e i,ei+1,en-1 Δn-1 csúcsokat pedig rendre az ei+1,ei+2,en Δn csúcsokba viszi. Ezt a lineáris leképezést ϕ-vel komponálva megkapjuk ϕ i-edik oldalát, iϕ-t.

16.3. Definíció. Definiáljuk az S funktort, ami topológikus terekhez CW-komplexusokat rendel. Legyen X egy topológikus tér. S(X) n-szimplexei éppen az X-beli n-dimenziós szinguláris szimplexek lesznek, a ragasztást pedig dimenzió szerinti indukcióval definiáljuk. Legyen ϕ egy szinguláris n-szimplex, és tegyük fel, hogy az S(X) komplexus (n - 1)-vázát már elkészítettük. Minden 0 i n értékre a iϕ oldal egy (n - 1)-dimenziós szimplex, tehát benne van az (n - 1)-vázban. Ragasszuk hát ϕ i-edik oldalát ehhez az (n - 1)-szimplexhez!

Az S(X) komplexus szimplexei folytonos függvények X-be. Ezek a függvények a ragasztások mentén jól illeszkednek egymáshoz, tehát összeállnak egy ev : S(X) X folytonos függvénnyé, amit kiértékelésnek hívunk.

16.4. Megjegyzés. A 16.3. Definícióban többet is kapunk: egy delta-komplexust építünk fel. A CW-komplexusban megengedünk tetszőleges folytonos ragasztásokat, tehát ezek topológiai objektumok. Ezzel szemben delta-komplexusban viszont élet élhez, háromszöget háromszöghöz, n-szimplexet n-szimplexhez illesztünk, lineáris ragasztó leképezéssel, ezért a delta-komplexusok tisztán kombinatórikai objektumok, amelyeknek van topológiai realizációja. Ebben a jegyzetben elegendő a CW struktúrát ismerni.

16.5. Tétel. Legyen X egy topológikus tér. Az ev : S(X) X kiértékelés egy gyenge homotóp ekvivalencia.

Bizonyítás. Be kell látni, hogy ev * : πn(S(X)) πn(X) izomorfizmus minden n-re. Választunk Sn-en egy szimplex-felbontást. Ennek segítségével minden f : Sn X folytonos leképezés felemelhető egy f˜ : Sn S(X) folytonos függvénnyé, amelyre ev f˜ = f, tehát ev * szürjektív.

Legyenek most ˜p ,˜q : Sn S(X) folytonos függvények, és h : S × [0, 1] X egy homotópia ev ˜p  és ev ˜q  között. Először lecseréljük ˜p -t és ˜q -t egy-egy szimplíciális approximációra. Ez ad Sn× {0}-án és Sn ×{1}-en egy-egy szimplex-felbontást, amit kiterjesztünk Sn × [0, 1] szimplex-felbontásává. Ennek segítségével gyártunk olyan ˜h : Sn × [0, 1] S(X) függvényt, amelyre ev ˜h = h. Tehát ev * injektív.

16.6. Tétel.  

(a)
S : Top Top CW  egy kovariáns funktor. (11.2. Definíció, 14.3. Definíció).
(b)
Ha f és g homotóp folytonos függvények, akkor S(f) és S(g) között van egy CW-homotópia.
(c)
Ha f gyenge homotóp ekvivalencia, akkor S(f) egy CW-függvény, amelyik homotóp ekvivalencia.
(d)
Ha az X tér olyan, hogy πn(X) = {1} minden n-re, akkor S(X) pontrahúzható (topológikus térként).

Bizonyítás. Ha σ egy szinguláris szimplex X-ben, és komponáljuk őt egy f és g közötti homotópiával, akkor az f(σ) és g(σ) szinguláris szimplexek közti homotópiát kapunk. Ezek a homotópiák összeragadnak egy S(f) és S(g) közötti CW-homotópiává. A többi állítás azonnal következik Whitehead tételéből (14.13. Tétel) és a 16.5. Tételből.

16.7. Lemma. Legyen X egy topológikus tér, U egy nyílt fedés. Jelölje SU(X) S(X) azt a rész-komplexust, amelyet azon ϕ : Δn X szimplexek alkotnak, amelyekre Im(ϕ) teljes egészében valamelyik U-beli nyílt halmazba esik. Ekkor az SU(X)`→S(X) beágyazás egy homotóp ekvivalencia.

Ötlet: A 16.5. Tétel bizonyítása kis módosítással azt is megmutatja, hogy az SU(X)`→S(X) ev
- →X kompozíció is gyenge homotóp ekvivalencia. Ezért az SU(X)`→S(X) beágyazás is gyenge homotóp ekvivalencia. A lemma tehát következik Whitehead tételéből (14.13. Tétel).

16.8. Megjegyzés. A 16.7. Lemmának számtalan, ugyanezzel a technikával bizonyítható változata van. Például, ha X egy differenciálható sokaság, akkor tekinthetjük a differenciálható szimplek részkomplexusát, ha pedig X egy metrikus tér, akkor tekinthetjük az ε-nál kisebb átmérőjű szimplexek részkomplexusát — ezek is homotóp ekvivalensek X-szel és S(X)-szel.