Az előző fejezetben olyan szituációkat kerestünk, amikor pontosan ki tudjuk számolni bizonyos komplexusok tenzor szorzatának a homológiáit. Most ennél sokkal általánosabb tenzor szorzatok homológiáit vizsgáljuk. Az általánosságnak ára van: pontos formulák helyett csak egzakt sorozatokat kapunk.
10.1. Lemma. Legyen ⋅ egy szabad Abel csoportokból épült komplexus, d jelölia differenciálját. Tekintsük az Im(d)⋅ ≤ Ker(d)⋅ ≤ ⋅ rész-komplexusokat: ezek szabad Abelcsoportokból állnak, és a differenciáljuk nulla. Konstruálható egy
Bizonyítás. Mivel d2 = 0, azért Im(d)⋅ ≤ Ker(d)⋅. A 4.4. Tények (h) pontja miatt Im(d)⋅ és Ker(d)⋅ szabad modulusokból áll, és a definícióból azonnal következik, hogy a differenciáljuk (tehát d megszorítása) nulla. Tekintsük a d : ⋅ → Im(d)⋅+1 lánc-homomorfizmust. Elkészítjük hozzá a 3.10. Definícióbeli egzakt sorozatot. Állítjuk, hogy ez kielégíti a lemma követelményeit.
Valóban, a sorozatban szereplő leképezés-kúp szemmel látjatóan szabad Abel csoportokból épült, és a 3.18. Feladat miatt homotóp ekvivalens Ker(d)⋅-vel. Ezért a homológiái is szabad modulusok, a 9.3. Lemma megadja a keresett direkt összeg felbontást. □
10.2. Tétel. Legyenek ⋅ és ⋅ Abel csoport komplexusok. (Alsó indexeket használunk, lásd az 1.2. Konvenciót.) Tegyük fel, hogy n szabad minden n-re. Ekkor létezik egy funktoriális egzakt sorozat:
Bizonyítás. Jelölje d az ⋅ komplexus differenciálját. A 10.1. Lemma ad egy
Mivel ⋅ pontrahúzható, azért az ⋅⊗⋅ szorzat is az (5.3. Feladat). Az E1⋅⋅ táblázatban a sorok homológiáját kell írni, tehát a ⋅⊗⋅ tagot bátran elhagyhatjuk az első sorból. A megmaradó kettős komplexusban a vízszintes irányú differenciálok nullák (10.1. Lemma: Im(d)⋅ és Ker(d)⋅ differenciálja nulla), tehát az alábbi direkt összegre bomlik:
10.3. Feladat. A 10.2. Tétel bizonyításában alsó indexekkel dolgoztunk, míg a felhasznált korábbi lemmákban, tételekben felső indexek szerepelnek. Ellenőrizd, hogy helyesen alkalmaztuk-e őket (azaz jól hoztuk-e alulra az indexeket)!
10.4. Tétel. Legyenek ⋅ és ⋅ Abel csoport komplexusok. (Alsó és felső indexeket is használunk, lásd az 1.2. Konvenciót.) Tegyük fel, hogy n szabad minden n-re. Ekkor létezik egy funktoriális egzakt sorozat:
Bizonyítás. Jelölje d az ⋅ komplexus differenciálját. A 10.1. Lemma ad egy
Mivel ⋅ pontrahúzható, azért a Hom ⋅,⋅ komplexus is az (6.4. Feladat). Az E1⋅⋅ táblázatban a sorok homológiáját kell írni, tehát a Hom ⋅,⋅ tagot bátran elhagyhatjuk az első sorból. A megmaradó kettős komplexusban a vízszintes irányú differenciálok nullák (10.1. Lemma: Im(d)⋅ és Ker(d)⋅ differenciálja nulla), tehát az alábbi direkt összegre bomlik:
10.5. Feladat. A 10.4. Tétel bizonyításában részben alsó indexekkel is dolgoztunk, míg a felhasznált korábbi lemmákban, tételekben felső indexek szerepelnek. Ellenőrizd, hogy helyesen alkalmaztuk-e őket (azaz jól hoztuk-e alulra az indexeket)!