10. Általános Künneth tételek — algebra

Az előző fejezetben olyan szituációkat kerestünk, amikor pontosan ki tudjuk számolni bizonyos komplexusok tenzor szorzatának a homológiáit. Most ennél sokkal általánosabb tenzor szorzatok homológiáit vizsgáljuk. Az általánosságnak ára van: pontos formulák helyett csak egzakt sorozatokat kapunk.

10.1. Lemma. Legyen F egy szabad Abel csoportokból épült komplexus, d jelölia differenciálját. Tekintsük az Im(d) Ker(d) F rész-komplexusokat: ezek szabad Abelcsoportokból állnak, és a differenciáljuk nulla. Konstruálható egy

0 -→  Im (d)⋅ -→ Ker (d)⋅ ⊕ L ⋅ -→ F ⋅ -→ 0
rövid egzakt sorozat, ahol L egy (szabad Abel csoportokból álló) pontrahúzható komplexus.

Bizonyítás. Mivel d2 = 0, azért Im(d) Ker(d). A 4.4. Tények (h) pontja miatt Im(d) és Ker(d) szabad modulusokból áll, és a definícióból azonnal következik, hogy a differenciáljuk (tehát d megszorítása) nulla. Tekintsük a d : F Im(d)+1 lánc-homomorfizmust. Elkészítjük hozzá a 3.10. Definícióbeli egzakt sorozatot. Állítjuk, hogy ez kielégíti a lemma követelményeit.

Valóban, a sorozatban szereplő leképezés-kúp szemmel látjatóan szabad Abel csoportokból épült, és a 3.18. Feladat miatt homotóp ekvivalens Ker(d)-vel. Ezért a homológiái is szabad modulusok, a 9.3. Lemma megadja a keresett direkt összeg felbontást.

10.2. Tétel. Legyenek E és F Abel csoport komplexusok. (Alsó indexeket használunk, lásd az 1.2. Konvenciót.) Tegyük fel, hogy En szabad minden n-re. Ekkor létezik egy funktoriális egzakt sorozat:

     ⊕                         ( ------⋅)      ⊕         (              )
0 →       Hp (E⋅)⊗Hq  (F⋅) → Hn   E⋅ ⊗ F ⋅ →         Tor1  Hp (E⋅),Hq(F ⋅)  →  0
     p+q=n                                    p+q=n-1
Ez a sorozat felhasad (nem kanonikusan), és ad egy (szintén nem kanonikus) izomorfizmust:
   (-------⋅)    ⊕      (            )
Hn  E ⋅ ⊗ F ⋅ =       Hp  E⋅ ⊗ Hq (F ⋅)
                p+q=n

Bizonyítás. Jelölje d az E komplexus differenciálját. A 10.1. Lemma ad egy

0 -→  Im (d)⋅ -→ Ker (d)⋅ ⊕ L ⋅ -→ E⋅ -→ 0
egzakt sorozatot. Alkalmazzuk rá a    F funktort, így kajuk az alábbi háromsoros diagramot:
|---------------------------|
|----------E⋅ ⊗-F-⋅---------|
|    (Ker(d )⋅ ⊕ L⋅) ⊗ F⋅    |
|                           |
---------Im-(d)⋅ ⊗-F⋅---------
Úgy indexelünk, hogy az elválasztó vonal alatt van a nulladik sor, fölötte pedig az első. Ez valójában egy „hármas komplexus”, de most kettős komplexusként kezeljük: a sorokba a megfelelő totális komplexust írjuk. A 3.22. Következmény szerint a felső sor lánc-ekvivalens az alsó két sor totális komplexusával. Erre a kétsoros kettős komplexusra alkalmazzuk a 3.26. Tételt. Be fogjuk látni, hogy a kapott egzakt sorozat megegyezik az általunk keresett sorozattal. A felhasadás tehát a 3.28. Tételből következik.

Mivel L pontrahúzható, azért az LF szorzat is az (5.3. Feladat). Az E1⋅⋅ táblázatban a sorok homológiáját kell írni, tehát a L F tagot bátran elhagyhatjuk az első sorból. A megmaradó kettős komplexusban a vízszintes irányú differenciálok nullák (10.1. Lemma: Im(d) és Ker(d) differenciálja nulla), tehát az alábbi direkt összegre bomlik:

|------------------|      |------------------|
|  Ker (d)⋅ ⊗ F ⋅  |  ⊕   | Ker(d )p ⊗ F ⋅-p   |
|                  =      |                  |
----Im-(d)⋅ ⊗-F⋅-----   p  --Im-(d)p ⊗-F⋅-p----
A Ker(d)p és az Im(d)p szorzók szabad modulusok, a velük való szorzás egzakt funktor, tehát az E1⋅⋅ táblázat így alakul:
          |-------------------------|      |--------------------------|
  ⋅⋅   ⊕   |  H ⋅(Ker (d )p ⊗ F ⋅- p)    |  ⊕   |   Ker (d)p ⊗ H ⋅-p(F⋅)   |
E 1 =     |                         |=     |                          |
       p  ----H-⋅(Im-(d)p ⊗-F⋅-p)-----   p  -----Im-(d)p-⊗-H-⋅-p(F-⋅)-----
Másrészt a 0 Im(d)p Ker(d)p Hp(E) 0 egzakt sorozat éppen a Hp(E) szabad feloldása. Az ebben szereplő Im(d)p Ker(d)p homomorfizmust Hq(Fp)-vel szorozva éppen az E1⋅⋅ táblázat p-edik összeadandójának egy oszlopát kapjuk. Éppen ez a komplexus szerepel a Tor funktor definíciójában (5.4. Definíció), tehát az E2⋅⋅ táblázat így alakul:
          |-------------------------|
      ⊕   |   H  (E ) ⊗ H   (F )    |
E ⋅⋅2 =     |     p  ⋅     ⋅-p  ⋅     |
       p  --Tor1-(Hp-(E⋅),H-⋅-p(F-⋅))---
A 3.26. Tételből tehát valóban a keresett egzakt sorozatot kapjuk, és az valóban felhasad. Ebből következik az alábbi (nem kanonikus) izomorfizmus:
                (                      )  (                              )
   (-------⋅)      ⊕                           ⊕         (               )
Hn  E⋅ ⊗ F⋅  ~=         Hp (E⋅) ⊗ Hq (F⋅) ⊕          Tor1  Hp (E ⋅),Hq (F⋅)
                  p+q=n                      p+q=n- 1
Számítsuk ki a Hp(EHq(F)) csoportot az Univerzális Együttható tétel (7.1. Tétel) segítségével:
   (           )    (                )        (                )
Hp  E⋅ ⊗ Hq(F ⋅)  ~=   Hp (E⋅) ⊗ Hq (F⋅)  ⊕ Tor1  Hp -1(E⋅),Hq (F ⋅)
Ezt összegezve az olyan p,q párokra, amelyek összege n, éppen a fenti izomorfizmus jobb oldalát kapjuk. Ez bizonyítja a 10.2. Tétel utolsó egyenletét.

10.3. Feladat. A 10.2. Tétel bizonyításában alsó indexekkel dolgoztunk, míg a felhasznált korábbi lemmákban, tételekben felső indexek szerepelnek. Ellenőrizd, hogy helyesen alkalmaztuk-e őket (azaz jól hoztuk-e alulra az indexeket)!

10.4. Tétel. Legyenek E és F Abel csoport komplexusok. (Alsó és felső indexeket is használunk, lásd az 1.2. Konvenciót.) Tegyük fel, hogy En szabad minden n-re. Ekkor létezik egy funktoriális egzakt sorozat:

                 (              )
      ⊕        1           q   ⋅
0 →         Ext   Hp (E⋅),H  (F  ) →
    p+q=n- 1

     n(------------⋅)     ⊕         (         q   ⋅ )
→  H   Hom  (E⋅,F⋅)  →        Hom   Hp (E⋅),H  (F  )  → 0
                        p+q=n
Ez a sorozat felhasad (nem kanonikusan), és ad egy (szintén nem kanonikus) izomorfizmust:
   (------------⋅)    ⊕       (                 )
Hn  Hom  (E⋅,F ⋅)  =       Hp   Hom  (E⋅,Hq (F ⋅))
                     p+q=n

Bizonyítás. Jelölje d az E komplexus differenciálját. A 10.1. Lemma ad egy

0 -→  Im (d)⋅ -→ Ker (d)⋅ ⊕ L ⋅ -→ E⋅ -→ 0
egzakt sorozatot. Alkalmazzuk rá a Hom( ,F) funktort (ez megfordítja a sorrendet, és fölül-indexelt komplexust ad, lásd a 6.3. Definíció), így kapjuk az alábbi háromsoros diagramot:
|---------------------------|
|     Hom  (Im (d)⋅,F ⋅)     |
|                       ⋅   |
|--Hom--(Ker-(d)⋅ ⊕-L-⋅,F-)--|
|       Hom  (E⋅,F ⋅)        |
-----------------------------
Most úgy indexelünk, hogy az elválasztó vonal fölött van a nulladik sor, alatta pedig a (-1)-edik! Ez valójában egy „hármas komplexus”, de most kettős komplexusként kezeljük: a sorokba a megfelelő totális komplexust írjuk. A 3.22. Következmény szerint az alsó sor lánc-ekvivalens az fölső két sor totális komplexusával. Erre a kétsoros kettős komplexusra alkalmazzuk a 3.26. Tételt. Be fogjuk látni, hogy a kapott egzakt sorozat megegyezik az általunk keresett sorozattal. A felhasadás tehát a 3.28. Tételből következik.

Mivel L pontrahúzható, azért a Hom (L,F) komplexus is az (6.4. Feladat). Az E1⋅⋅ táblázatban a sorok homológiáját kell írni, tehát a Hom (L,F) tagot bátran elhagyhatjuk az első sorból. A megmaradó kettős komplexusban a vízszintes irányú differenciálok nullák (10.1. Lemma: Im(d) és Ker(d) differenciálja nulla), tehát az alábbi direkt összegre bomlik:

|------------------------|      |---------------------------|
|   Hom  (Im (d)⋅,F⋅)    |  ⊕   |   Hom  ( Im (d)p,F ⋅- p)    |
|   Hom  (Ker (d )⋅,F ⋅)    =      |   Hom  (Ker (d)p,F ⋅-p)    |
-------------------------    p  -----------------------------
Most Ker(d)p és Im(d)p szabad modulusok, a velük való Hom-ozás egzakt funktor, tehát az E1⋅⋅ táblázat így alakul:
          |-----------------------------|      |-----------------------------|
      ⊕   |  H ⋅( Hom  (Im (d ),F ⋅-p))   |  ⊕   |  Hom  ( Im (d) ,H ⋅-p(F ⋅))   |
E ⋅⋅1 =     |                  p          |=     |              p              |
       p  --H-⋅(Hom--(Ker-(d)p,F-⋅-p))----   p  ---Hom--(Ker-(d)p,H-⋅-p(F-⋅))----
Másrészt a 0 Im(d)p Ker(d)p Hp(E) 0 egzakt sorozat éppen a Hp(E) szabad feloldása. Az ebben szereplő Im(d)p Ker(d)p homomorfizmusra alkalmazzuk a Hom ( ,Hq(Fp)) funktort — így éppen az E1⋅⋅ táblázat p-edik összeadandójának egy oszlopát kapjuk. Éppen ez a komplexus szerepel az Ext funktor definíciójában (6.5. Definíció), tehát az E2⋅⋅ táblázat így alakul:
          |-----------------------------|
  ⋅⋅   ⊕   |   Ext1 (Hp (E⋅),H ⋅-p(F ⋅))    |
E 2 =     |   Hom  (Hp (E⋅),H ⋅-p(F ⋅))   |
       p  -------------------------------
A 3.26. Tételből tehát valóban a keresett egzakt sorozatot kapjuk, és az valóban felhasad. Ebből következik az alábbi (nem funktoriális) izomorfizmus:
   (             )   (  ⊕         (              ) )  (   ⊕         (               ))
Hn  Hom--(E-,F-⋅)⋅  ~=         Hom   H  (E),Hq (F ⋅)   ⊕           Ext1  H  (E ),Hq (F ⋅)
           ⋅                         p  ⋅                               p  ⋅
                       p+q=n                            p+q=n-1
Számítsuk ki a Hp( Hom (E,Hq(F))) csoportot az Univerzális Együttható tétel (7.1. Tétel) segítségével:
   (                 )         (              )       (                  )
Hp   Hom  (E ⋅,Hq (F ⋅))  ~=  Hom   Hp (E⋅),Hq (F ⋅)  ⊕Ext1   Hp- 1(E ⋅),Hq (F ⋅))
Ezt összegezve az olyan p,q párokra, amelyek összege n, éppen a fenti izomorfizmus jobb oldalát kapjuk. Ez bizonyítja a 10.4. Tétel utolsó egyenletét.

10.5. Feladat. A 10.4. Tétel bizonyításában részben alsó indexekkel is dolgoztunk, míg a felhasznált korábbi lemmákban, tételekben felső indexek szerepelnek. Ellenőrizd, hogy helyesen alkalmaztuk-e őket (azaz jól hoztuk-e alulra az indexeket)!