Shelah tétele

Csirmaz László

Ebben a rövid jegyzetben a következő, S. Shelahtól származó tételt bizonyítjuk:

1. Tétel Két struktúra akkor és csak akkor elemien ekvivalens, ha van izomorf ultrahatványuk.

Bizonyítás. Legyen a két struktúra 𝔄 és 𝔅, közös típusuk t, a t típusú formulák halmaza F_{t}. Olyan λ számosságot és U ⊂ P (λ) ultraszűrőt keresünk, melyre ^{λ}𝔄/U ≈ ^{λ}𝔅/U. Ehhez elsőként egy tiszta halmazelméleti fogalmat definiálunk és arra mondunk ki állításokat.

A bizonyítás során λ, μ és β végtelen reguláris számosságokat jelentenek, ezeket rögzítjük.

Definíció F ⊂ ^{λ}β és D ⊂ P (λ) esetén F ⊥ D jelöli azt, hogy a következő két feltétel teljesül:

(i) D bármely két elemével együtt azok metszetét is tartalmazza;

(ii) ha a G ⊂ F, |G| < μ részhalmaz minden g ∈ G eleméhez egy σ_{g} ∈ β rendszámot rendeltünk,

akkor a

{ν < λ : minden g ∈ G-re g(ν) = σ_{g}}

halmaz D minden elemét metszi.

Világos, hogy F ⊥ D akkor és csak akkor, ha F -nek minden μ-nél kisebb számosságú F′ részére F′ ⊥ D. Így speciálisan ha F ⊥ D és F′ ⊂ F, akkor egyúttal F′ ⊥ D. Az is világos, hogy ha D teljesíti az (i) feltételt, akkor F ⊥ D akkor és csak akkor, ha minden A ∈ D-re F ⊥ {A}. Végül ha F nem üres, akkor D-nek az üres halmaz nem lehet eleme.

A D ⊂ P (λ) halmadrendszer centrált, ha akárhogyan is veszünk ki véges sokat D elemei közül, azok metszete nem üres. Így ha F ≠ ∅ és F ⊥ D akkor D centrált. A D által generált szűrőt U(D) jelöli, azaz

U(D) = {A ⊂ λ : (∃X ∈ D) (X ⊂ A)}.

Végül A ⊂ λ mellett D (+) A jelöli a

D ∪ {A ∩ X : X ∈ D}

halmazrendszert.

1. Lemma Legyen α egy rendszám és legyen ξ < α-ra D_{ξ} ⊂ P (λ) növő, azaz ξ < η < α esetén D_{ξ} ⊂ D_{η}; továbbá tegyük fel, hogy F ⊥ D_{ξ} mindegyik ξ < α-ra. Ekkor F ⊥ ⋃{D_{ξ} : ξ < α}.

2. Lemma Tegyük fel, hogy σ < μ esetén λ^{σ} ≤ λ, β^{σ} ≤ λ. Ekkor van F ⊂ ^{λ}β, |F | = 2^{λ}, melyre F ⊥ {λ}.

Bizonyítás. Megjegyezzük, hogy μ ≤ λ, hiszen λ^{λ} = 2^{λ} > λ. Legyen

H = {⟨A, S, h⟩ : A ⊂ λ, |A| < μ, S ⊂ P (A), |S| < μ, és h : S → β}.

Ekkor |H| = λ. Ebből |H| ≥ λ nyilvánvaló, másrészt rögzített A és S mellett a különböző h : S → β függvények száma β^{|S|}, ami |S| < μ miatt legfeljebb λ. Hasonlóképpen rögzített A mellett |P (A)| = 2^{|A|} ≤ λ^{|A|} ≤ λ, és így a különböző S-ekből legfeljebb

∑_{σ<μ} λ^{σ} ≤ μ · λ = λ

lehet, tehát |H| ≤ (∑_{σ<μ} λ^{σ}) · (∑_{σ<μ} λ^{σ}) · λ = λ.

Ezek szerint a H halmazt fel lehet λ típusban sorolni, legyen H = {⟨A_{ξ}, S_{ξ}, h_{ξ}⟩ : ξ < λ}. Legyen most B ⊂ λ tetszőleges, és

f_{B}(ξ) = \{ \begin{matrix}h_{ξ}(B ∩ A_{ξ}) & ha B ∩ A_{ξ} ∈ S_{ξ}, \\ 0 & egyébként. \end{matrix}

Álítjuk, hogy F = {f_{B} : B ⊂ λ} megfelelő. Valóban, B ≠ C esetén f_{B} ≠ f_{C}, így |F | = 2^{λ}. Az F ⊥ {λ} ellenőrzéséhez legyen τ < μ, G = {f_{B_{ϱ}} : ϱ < τ}, és az f_{B_{ϱ}}-hoz választott rendszám σ_{ϱ}. Olyan ν < λ indexet kell találnunk, melyre f_{B_{ϱ}} = σ_{ϱ} minden ϱ < τ-ra. Mivel a B_{ϱ} részhalmazokból μ-nél kevesebb van, azért található olyan A ⊂ λ, |A| < μ, hogy ha ϱ_{1} ≠ ϱ_{2} akkor A ∩ B_{ϱ_{1}} ≠ A ∩ B_{ϱ_{2}}. Ekkor H-nak van olyan ⟨A_{ν}, S_{ν}, h_{ν}⟩ tagja, hogy

A_{ν} = A, S_{ν} = {B_{ϱ} ∩ A : ϱ < τ}, és h_{ν}(B_{ϱ} ∩ A) = σ_{ϱ}.

Ez a ν < λ megfelelő: f_{B_{ϱ}}(ν) = h_{ν}(B_{ϱ} ∩ A) = σ_{ϱ}, ahogyan kívántuk.

3. Lemma Legyen F ⊥ D és A ⊂ λ. Ekkor van F′ ⊂ F és D′ ⊃ D hogy F′ ⊥ D′, |F − F′| < μ, |D′ − D| ≤ |D|, és vagy A ∈ U(D′) vagy λ − A ∈ U(D′).

Bizonyítás. Legyen D′ = D (+) X és D′′ = D (+) (λ − X). Világos, hogy ha F ⊥ D′, akkor készen vagyunk. Tegyük fel tehát, hogy F ⊥̸ D′, azaz van olyan G′ ⊂ F, |G′| < μ és olyan σ′ : G′ → β függvény, hogy valamely X′ ∈ D-re

(1) X′ ∩ A ∩ {ν < λ : minden g ∈ G′-re g(ν) = σ′_{g}} = ∅.

Legyen F′ = F − G′, állítjuk, hogy F′ ⊥ D′′, amivel a lemmát is bizonyítjuk. Valóban, legyen G ⊂ F′, |G| < μ és σ : G → β adott. Felhasználva az F ⊥ D feltételt a G ∪ G′ (még mindig μ-nél kisebb számosságú) halmazra valamint a σ ∪ σ′ függvényre, kapjuk, hogy tetszőleges X ∈ D-hez van olyan ν < λ index (mivel még X ∩X′ ∈ D is igaz) hogy ν ∈ X ∩X′, g(ν) = σ′_{g} minden g ∈ G′-re, és g(ν) = σ_{g} ha g ∈ G. Az (1) alapján ilyen ν nem lehet X′ ∩ A-ban, következésképp

X ∩ (λ − A) ∩ {ν < λ : minden g ∈ G-re g(ν) = σ_{g}} ≠ ∅

hiszen még az X′-vel való metszete sem üres.

4. Lemma Legyen F ⊥ D, |D| ≤ κ és A_{ξ} ⊂ λ minden ξ < κ-ra, ahol κ ≥ μ tetszőleges számosság. Ekkor van olyan F′ ⊂ F és D′ ⊃ D hogy F′ ⊥ D′, |F −F′| ≤ κ, |D′ −D| ≤ κ, továbbá minden ξ < κ-ra

vagy A_{ξ} ∈ U(D′) vagy λ − A_{ξ} ∈ U(D′).

Bizonyítás. Az előző és az 1. lemma alapján egyszerű indukcióval adódik.

5. Lemma Tegyük fel, hogy β < μ, és legyen F ⊥ D, |D| ≤ κ, továbbá G ⊂ ^{λ}β, |G| ≤ κ, ahol κ ≥ μ tetszőleges számosság. Ekkor van olyan F′ ⊂ F, hogy |F − F′| ≤ κ és minden f ∈ F′ és g ∈ G-re

F′ − {f} ⊥ D (+) {ν < λ : f(ν) = g(ν)}.

Bizonyítás. Az állítást nyilván elég |G| = 1-re bizonyítani, továbbá |D| ≤ κ miatt azt is feltehetjük, hogy |D| = 1. Ha ugyanis minden A ∈ D-re F ⊥ {A}, akkor egyúttal F ⊥ D is igaz. Legyen tehát D = {A} és G = {g}. Elég azt belátni, hogy ha F ⊥ {A}, akkor van olyan F′ ⊂ F, |F′| < μ ( ≤ κ), hogy

(2) minden f ∈ F − F′-re F − F′ − {f} ⊥ {A} (+) {ν < λ : f(ν) = g(ν)}.

Legyen F_{0} = ∅ és definiáljuk az F_{α} ⊂ F sorozatot α < β-ra a következőképpen. F_{α} = ⋃{F_{γ} : γ < α} ha α limesz; F_{α+1} = F_{α} ha F′ = F_{α}-val (2) teljesül. Végül ha ez nem így van, akkor van f_{α} ∈ F − F_{α} és H_{α} ⊂ F − F_{α} − {f_{α}}, |H_{α}| < μ, továbbá minden h ∈ H_{α}-ra egy σ_{h} ∈ β, hogy

(3) A ∩ {ν < λ : f_{α}(ν) = g(ν)} ∩ {ν < λ : minden h ∈ H_{α}-ra h(ν) = σ_{h}} = ∅.

Legyen ekkor F_{α+1} = F_{α} ∪ H_{α} ∪ {f_{α}}. Állítjuk, hogy F′ = F_{β}-val (2) teljesül. Először is megjegyezzük, hogy ha F_{α+1} = F_{α}, akkor F_{β} = F_{α}, és a konstrukció miatt (2) valóban fennáll. Elegendő tehát igazolni, hogy F_{α+1} = F_{α} valamilyen α < β-ra. Tegyük fel, hogy nem, azaz f_{α} és H_{α} minden α < β-ra létezik. Ekkor β < μ és |H_{α}| < μ miatt H = ⋃{H_{α} : α < β} számossága is kisebb μ-nél (μ reguláris). Az {f_{α}} ∪ H_{α} halmazok diszjunktak és F ⊥ {A}, ezért

A ∩ {ν < λ : minden α < β-ra f_{α}(ν) = α} ∩ {ν < λ : minden h ∈ H-ra h(ν) = σ_{h}} ≠ ∅.

Legyen ν < λ ennek a halmaznak egy eleme. (3) miatt minden α < β-ra f_{α}(ν) ≠ g(ν), viszont α = g(ν)-re f_{α}(ν) = α = g(ν), ellentmondás.

Ezek után rátérünk a tétel bizonyítására. Emlékeztetünk arra, hogy a két egymással ekvivalens struktúra 𝔄 és 𝔅, közös típusuk t, a t típusú formulák halmaza F_{t}. Legyenek most λ, μ és β olyan végtelen reguláris számosságok, melyekre |A| ≤ β, |B| ≤ β, |F_{t}| ≤ β, β < μ, végül minden σ < μ-re λ^{σ} ≤ λ. Egyrészt világos, hogy ilyen számosságok vannak, másrészt μ ≤ λ. Legyen továbbá κ = 2^{λ}. Rögzítsük A elemeinek egy |A| ≤ β típusú, és B elemeinek egy |B| ≤ β típusú felsorolását:

A = {c_{α} : α < |A|}; B = {d_{α} : α < |B|}.

Mivel |A| < μ ≤ λ, azért |^{λ}A| = |A|^{λ} ≤ 2^{λ} = κ, és hasonlóan |^{λ}B| ≤ κ, azért mind ^{λ}A, mind ^{λ}B felsorolható κ típusban, csakúgy, mint P (λ), egy–egy ilyen felsorolást is rögzítünk.

Az U ultraszűrő természetesen P (λ)-nak lesz része. Az ^{λ}𝔄/U és ^{λ}𝔅/U közötti izomorfizmust úgy biztosítjuk, hogy ξ < κ-ra definiáljuk az a_{ξ} ∈ ^{λ}A és b_{ξ} ∈ ^{λ}B elemeket a következő tulajdonságokkal:

λA = {a_{ξ} : ξ < κ}, ^{λ}B = {b_{ξ} : ξ < κ};

valamint minden n szabad változós φ ∈ F_{t} formulára és τ_{1},…, τ_{n} < κ-ra

{ν < λ : 𝔄 ⊧ φ[a_{τ_{1}},…, a_{τ_{n}}] } ∈ U

akkor és csak akkor, ha

{ν < λ : 𝔅 ⊧ φ[b_{τ_{1}},…, b_{τ_{n}}] } ∈ U.

Innen azonnal adódik, hogy ξ, η < κ esetén a_{ξ} és a_{η} akkor és csak akkor esik ugyanabba az U szerinti osztályba, ha b_{ξ} és b_{η} ugyanabba az osztályba esik:

{ν < λ : a_{ξ}(ν) = a_{η}(ν)} ∈ U

pontosan akkor áll fenn, ha a ugyanez a megfelelő b_{ξ}, b_{η} elemekre fennáll. Így az a_{ξ} ↔ b_{ξ} megfeleltetés kiterjeszthető az ^{λ}𝔄/U és a ^{λ}𝔅/U elemei közötti megfeleltetéssé: az a_{ξ} ekvivalencia osztályának, \overline{a_{ξ}}- nak \overline{b_{ξ}}-t feleltetjük meg. Ez izomorfizmus is: tetszőleges n-változós φ ∈ F_{t} formulára és ^{λ}𝔄/U-nak n elemére, ha azok az a_{τ_{1}}, …, a_{τ_{n}} függvények ekvivalencia osztályai,

λ𝔄/U ⊧ φ[\overline{a_{τ_{1}}},…, \overline{a_{τ_{n}}}]

akkor és csak akkor, ha

{ν ∈ λ : 𝔄 ⊧ φ[a_{τ_{1}}(ν),…, a_{τ_{n}}(ν)] } ∈ U,

ami a feltétel szerint pontosan akkor igaz, ha

{ν ∈ λ : 𝔅 ⊧ φ[b_{τ_{1}}(ν),…, b_{τ_{n}}(ν)] } ∈ U,

azaz

λ𝔅/U ⊧ φ[\overline{b_{τ_{1}}},…, \overline{b_{τ_{n}}}],

ahogyan kívántuk.

A jelölések egyszerűsítése érdekében τ-val jelöljük a ⟨τ_{1},…, τ_{n}⟩ rendszám n-est, τ < ξ azt jelenti, hogy a τ_{1}, …, τ_{n} mindegyike kisebb ξ-nél. Adott n-változós φ ∈ F_{t} formulára és τ rendszám n-esre

A(φ; τ) =^{def} {ν < λ : 𝔄 ⊧ φ[a_{τ_{1}}(ν),…, a_{τ_{n}}(ν)] },

és

B(φ; τ) =^{def} {ν < λ : 𝔅 ⊧ φ[b_{τ_{1}}(ν),…, b_{τ_{n}}(ν)] },

Használni fogjuk még az A(φ; ξ, τ) és B(φ; ξ, τ) jelöléseket is n + 1-változós φ ∈ F_{t} formulákra értelem szerint, például

A(φ; σ, τ) =^{def} {ν < λ : 𝔄 ⊧ φ[a_{ξ}(ν), a_{τ_{1}}(ν),…, a_{τ_{n}}(ν)] }.

Nyilván A(φ; τ) = λ − A(¬φ; τ), valamint

A(φ_{1}; τ_{1}) ∩ A(φ_{2}; τ_{2}) = A(φ_{1} ∧ φ_{2}; τ_{1} ∪ τ_{2}).

Az a_{ξ} ∈ ^{λ}A és b_{ξ} ∈ ^{λ}B mellett definiáljuk ξ < κ-ra az F_{ξ} ⊂ ^{λ}β csökkenő, valamint a D_{ξ} ⊂ P (λ) és U_{ξ} ⊂ P (λ) növekvő sorozatokat úgy, hogy a következő tulajdonságaik legyenek:

(i) |F_{ξ}| = κ, |F_{0} − F_{ξ}| ≤ λ + |ξ|, |D_{ξ}| ≤ λ + |ξ|, U_{ξ} = U(D_{ξ});

(ii) F_{ξ} ⊥ D_{ξ}; (iii) minden n-változós φ ∈ F_{t} formulára és τ = ⟨τ_{1},…, τ_{n}⟩, τ < ξ-re A(φ; τ) és A(¬φ; τ) közül

pontosan az egyik eleme U_{ξ}-nek;

(iv) minden φ ∈ F_{t} és τ < ξ-re A(φ; τ) ∈ U_{ξ} akkor és csak akkor, ha B(φ; τ) ∈ U_{ξ}.

Ha ezeken felül még azt is tudjuk biztosítani, hogy ^{λ}A minden eleme szerepeljen a_{ξ}-ként, ^{λ}B minden eleme b_{ξ}-ként, továbbá λ minden X részhalmazára vagy X vagy λ − X eleme legyen valamelyik U_{ξ}-nek, akkor készen vagyunk: U = ⋃{U_{ξ} : ξ < κ} ultraszűrő λ-n (mert F_{ξ} ≠ ∅ miatt D_{ξ} centrált, és így U_{ξ} is centrált, továbbá λ bármely részhalmazára U vagy azt, vagy a komplementerét tartalmazza), és az (iv) feltétel alapján U ⊂ P (λ) és az {a_{ξ} : ξ < κ} és {b_{ξ} : ξ < κ} sorozatok megfelelők.

Lássuk tehát a definíciókat. Először is ξ = 0-ra legyen D_{0} = {λ}, és F_{0} ⊂ ^{λ}β olyan, a 2. lemma alapján létező halmaz, amire

|F_{0}| = 2^{λ} = κ, és F_{0} ⊥ D_{0}.

Végül legyen U_{0} = U(D_{0}), ami jelent esetben megegyezik D_{0}-lal. A feltételek közül (i) és (ii) nyilván teljesül, (iii) és (iv) pedig azért, mert ha φ-nek nincs szabad változója, azaz φ zárt, akkor vagy A(φ; ) = λ vagy A(φ; ) = ∅ attól függően, hogy 𝔄-ban igaz-e a φ vagy sem. Másrészt 𝔄 és 𝔅 elemien ekvivalensek, így zárt φ-re A(φ; ) = B(φ; ).

Ha ξ limesz és minden η < ξ-re definiáltuk az F_{η}, D_{η}, U_{η} halmazokat valamint az a_{η} ∈ ^{λ}A és b_{η} ∈ ^{λ}B elemeket, akkor F_{ξ} = ⋂{F_{η} : η < ξ}, D_{ξ} = ⋃{D_{η} : η < ξ} és U_{ξ} = ⋃{U_{η} : η < ξ} megfelelő. Így elegendő csak rákövetkező rendszámokkal foglalkoznunk. Tegyük fel tehát, hogy F_{ξ}, D_{ξ}, U_{ξ} már megvan csakúgy mint a_{η} és b_{η} η < ξ-re úgy, hogy rájuk (i)—(iv) teljesül, és definiálni szeretnénk F_{ξ+1}, D_{ξ+1}, U_{ξ+1}-et valamint a_{ξ}-t és b_{ξ}-t. Vegyük észre, hogy |F_{ξ}| = κ miatt F_{ξ} ≠ ∅, és így D_{ξ} és U_{ξ} centrált rendszerek.

Elsőként vegyük P (λ) rögzített κ típusú felsorolásában az első olyan X elemet, melyre sem X sem X komplementere nem eleme U_{ξ}-nek (ha ilyen egyátalán van), és alkalmazzuk a 3. lemmát F_{ξ}-re, D_{ξ}-re és X-re. Az adódó F′ ⊂ F_{ξ}, D′ ⊃ D_{ξ} és U′ = U(D′) ⊃ U(D_{ξ}) = U_{ξ} mellett (i)—(iv) továbbra is fennáll, és mág vagy X ∈ U′ vagy λ − X ∈ U′. Ezzel biztosítottuk, hogy minden részhalmazra vagy ő vagy komplementere valamelyik U_{ξ}-ben benne legyen.

Ezek után a szerint, hogy ξ páros vagy páratlan, vagy a_{ξ}-nek választjuk ^{λ}A elemei közül a legkisebb olyat, ami nincs az {a_{η} : η < ξ} halmazban, vagy pedig b_{ξ}-nek választjuk a ^{λ}B − {b_{η} : η < ξ} halmaz minimális elemét. Ezzel elérjük, hogy mind ^{λ}A mind ^{λ}B valamennyi eleme sorra kerüljön. Mivel a két eset teljesen szimmterikus, csak az elsővel foglalkozunk, azaz a_{ξ} megvan, és keressük b_{ξ}-t, F_{ξ+1}-et és D_{ξ+1}-et.

Minden (n + 1)-változós φ ∈ F_{t} formulára és τ = ⟨τ_{1},…, τ_{n}⟩, τ < ξ-re tekintsük az

A(φ; ξ, τ) = {ν < λ : 𝔄 ⊧ φ[a_{ξ}(ν), a_{τ_{1}}(ν),…, a_{τ_{n}}(ν)] }

halmazokat. Mivel |F_{t}| ≤ λ, azért ezekből a halmazokból legfeljebb λ + |ξ| darab van. A 4. lemmát F′ és D′-re valamint ezekre a halmazokra alkalmazva kapjuk, hogy vannak olyan F′′ ⊂ F′, D′′ ⊃ D′ és U′′ = U(D′′) ⊃ U′ halmazok is, hogy ezekre is teljesülnek az (i)—(iv) feltételek, és ezen kívül minden (n + 1)-változós φ ∈ F_{t} formulára és τ < ξ-re

vagy A(φ; ξ, τ) ∈ U′′ vagy A(¬φ; ξ, τ) = λ − A(φ; ξ, τ) ∈ U′′.

Emlékeztetünk rá, hogy B = {d_{ϱ} : ϱ < |B|} a B elemeinek egy ≤ β típusú felsorolása. Egy (n + 1)- változós ψ ∈ F_{t} formulára és τ = ⟨τ_{1},…, τ_{n}⟩ < ξ-re legyen a g_{ψ;τ} : λ → β függvény a következőképpen definiálva:

g_{ψ;τ} (ν) = \{ \begin{matrix}min \{ϱ < |B| : 𝔅 ⊧ ψ[d_{ϱ}, b_{τ_{1}}(ν),…, b_{τ_{n}}(ν)] \} ha ilyen ϱ van \\ 0 egyébként. \end{matrix}

Ilyen g függvényből legfeljebb λ + |ξ| darab van, így az 5. lemma alapján van F′′′ ⊂ F′′ hogy minden f ∈ F′′′-re F′′′ − {f} ⊥ D′′ (+) {ν < λ : f(ν) = g_{ψ;τ} (ν)}. (4)

Mivel |F′′ − F′′′| ≤ λ + |ξ| < κ, azért F′′′ ≠ ∅, válasszuk f ∈ F′′′-t tetszőlegesen, és legyen

F_{ξ+1} = F′′′ − {f}.

A b_{ξ} ∈ ^{λ}B-t definiáljuk a következőképpen:

b_{ξ}(ν) = \{ \begin{matrix}d_{f(ν)} & ha f(ν) < |B| \\ d_{0} & egyébként. \end{matrix}

Végül legyen

\begin{matrix}D_{ξ+1} = D′′ ∪ \{X ∩ B(φ; ξ, τ) : X ∈ D′′ és A(φ; ξ, τ) ∈ U′′\} \\ U_{ξ+1} = U(D_{ξ+1}). \end{matrix}

Állítjuk, hogy ez a választás jó. Az (i)-ben szereplő számosságfeltételek nyilván teljesülnek. F_{ξ+1} ⊥ D_{ξ+1} ellenőrzéséhez először is D_{ξ+1} két elemével együtt azok metszetét is tartalmazza, F′′′ ≠ ∅ miatt D′′ centrált, és így X_{1}, X_{2} ∈ D és A_{1}, A_{2} ∈ U′′ esetén X_{1} ∩ X_{2} ∈ D′′ és A_{1} ∩ A_{2} ∈ U′′ is igaz, továbbá

B(φ_{1}; ξ, τ_{1}) ∩ B(φ_{2}; ξ, τ_{2}) = B(φ_{1} ∧ φ_{2}; ξ, τ_{1} ∪ τ_{2}),

és ugyanez áll az A(φ; ξ, τ) halmazokra.

Ha A ⊧ φ[a_{ξ}(ν), a_{τ} (ν)], akkor természetesen A ⊧ ∃xφ[x, a_{τ} (ν)]. Ezért A(φ; ξ, τ) ⊂ A(∃xφ; τ), így ha A(φ; ξ, τ) ∈ U′′, akkor A(∃xφ; τ) ∈ U′′ is teljesül, és az (iii) feltétel miatt A(∃xφ; τ) ∈ U_{ξ}, végül (iv) alapján B(∃xφ; τ) ∈ U_{ξ} ⊂ U′′. Ezek után F_{ξ+1} ⊥ D_{ξ+1} második feltételét ellenőrizendő legyen H ⊂ F_{ξ+1}, |H| < μ, és h ∈ H-ra σ_{h} ∈ β adott. D_{ξ+1} egy eleme X ∩ B(φ; ξ, τ) alakú, ahol X ∈ D′′ és A(φ; ξ, τ) ∈ U′′, és olyan ν ∈ X ∩ B(φ; ξ, τ) elemet keresünk, melyre h(ν) = σ_{h} minden h ∈ H-ra. Mivel A(φ; ξ, τ) ∈ U′′ esetén B(∃xφ; τ) ∈ U′′ is igaz, van olyan Y ∈ D′′, melyre Y ⊂ X ∩ B(∃xφ; τ). A (4) feltételt a H ⊂ F′′′ − {f} és Y ∈ D′′ halmazokra valamint a g_{φ;τ} függvényre alkalmazva kapjuk, hogy van olyan ν ∈ X ∩ B(∃xφ; τ), melyre h ∈ H eseténe h(ν) = σ_{h}, továbbá f(ν) = g_{φ;τ} (ν). Elegendő megmutatnunk, hogy ez a ν eleme B(φ; ξ, τ)-nak is. Mivel ν ∈ B(∃xφ; τ), azért 𝔅 ⊧ ∃xφ[x, b_{τ} (ν)], tehát g_{φ;τ} definíciója miatt g_{φ;τ} (ν) = ϱ < |B| és 𝔅 ⊧ φ[d_{ϱ}, b_{τ} (ν)], azaz f(ν) = ϱ és b_{ξ} definíciója alapján 𝔅 ⊧ φ[b_{ξ}(ν), b_{τ} (ν)], vagyis ν ∈ B(φ; ξ, τ), ahogyan kívántuk.

Az (iii) és (iv) feltételeket nyilván csak az A(φ; ξ, τ) alakú halmazokra kell ellenőriznünk. Ám a konstrukció miatt minden ilyen halmazra vagy ő vagy a komplementere U′′-ben, és így a bővebb U_{ξ+1}- ben van, másrészt komplementer halmazok nem lehetnek U_{ξ+1}-ben, mert akkor D_{ξ+1} tartalmazná az üres halmazt. Ez mutatja, hogy (iii) teljesül. Végül (iv)-hez ha A(φ; ξ, τ) ∈ U_{ξ+1}, akkor persze A(φ; ξ, τ) ∈ U′′ is igaz, és ekkor D_{ξ+1} definíciója alapján D_{ξ+1} valamely eleme része B(φ; ξ, τ)-nak, tehát B(φ; ξ, τ) ∈ U_{ξ+1}. Ha pedig A(φ; ξ, τ) ∉ U_{ξ+1}, akkor A(¬φ; ξ, τ) ∈ U′′, tehát B(¬φ; ξ, τ) ∈ U_{ξ+1}, és így B(φ; ξ, τ) ∉ U_{ξ+1}.

Az indukciós állítások tehát teljesülnek, a tétel bizonyítottuk.