Heti összefoglalók
Geometria 2, tanári szakirány

Definíciók: egybevágóság ponthalmazok között; két ponthalmaz 
egybevágó volta; egybevágósági transzformáció. 


A sík egybevágósági transzformációi
-----------------------------------
Példák: eltolások, forgatások, tükrözések, csúsztatva tükrözések.

A tér mozgásai
--------------
Példák: eltolások, tükrözések, tengely körüli forgatások.


Az egybevágósági transzformációk koordinátás (vektoros) leírása
---------------------------------------------------------------
1. Eltolások.
2. Távolságtartó homogén lineáris leképezések: az ortogonális 
mátrixok jellemzése ekvivalens tulajdonságokkal.

Tükrözések tulajdonságai
------------------------
Két síkra vagy egyenesre vett tükrözés, illetve
egy egyenesre vett tükrözés és eltolás kompozíciója.

Térben síkra, illetve síkban egyenesre vett tükrözés
felírható egy -1 determinánsú ortogonális 
transzformáció es egy eltolás kompozíciójaként.

Tétel: Bármely síkbeli egybevágósági transzformáció
legfeljebb három egyensre való tükrözés szorzata.

Tétel: Bármely térbeli egybevágósági transzformáció
legfeljebb négy síkra való tükrözés szorzata.

Tétel: (rögzített koordinátarendszer mellett) bármely 
egybevágósági transzformáció egyértelműen írható egy ortogonális 
transzformáció es egy eltolás kompozíciójaként.

Következmények:
Bármely egybevágósági transzformáció egyenestartó, síktartó,
párhuzamosságtartó es szögtartó.

Az egybevágósági transzformációk alkotta csoport.

Bármely ortogonális mátrix determinánsa 1 vagy -1.

Irányítástartó és iranyításváltó egybevágósági transzformációk.
(Pl. eltolások, ill. tükrözések.)

Osztályozási tétel: a sík bármely egybevágósági transzformációja 
eltolás, forgatás, egyenesre tükrözés vagy csúsztatva tükrözés.

Osztályozási tétel: a tér bármely irányítástartó egybevágósági 
transzformációja eltolás vagy csavarmozgás.

Hasonlóságok
------------

Definíciók: hasonlóság ponthalmazok között; két ponthalmaz 
hasonló volta; hasonlósági transzformáció.
A hasonlósági transzformációk alkotta csoport. Középpontos 
hasonlóságok.


Tétel: bármely hasonlósági transzformáció egyértelműen 
írható egy ortogonális transzformáció, egy origó középpontú 
nyújtás és egy eltolás kompozíciójaként.
Következmények: a hasonlósági transzformációk egyenestartók,
síktartók, párhuzamosságtartók és szögtartók.
Irányítástartó és -váltó hasonlósági transzformációk.

Ha egy hasonlóság nem egybevágóság, akkor van fixpontja.

A sík irányítástartó hasonlósági transzformációinak osztályozása: 
eltolások és forgatva nyújtások.

Háromszögek hasonlósága és  egybevágósága.

Alakzatok szimmetriái.

Affinitások
-----------

Az affin transzformáció (affinitás) definíciója:
invertálható lineáris transzformáció és eltolás kompo-
zíciója. 
A definíció függetlensége a koordinátarendszertől.
Hasonlóság és egybevágóság, mint speciális eset.
Az affin transzformációk csoportja.

A tengelyes affinitás iránya; merőleges és ferde affinitások,
ezek aránya. Nyírás.

Az affinitások egyenes-, félegyenes-, szakasz-, sík-, félsík-, 
féltértartása, párhuzamosságtartása, és osztóviszonytartása.
Síkbeli (ill. térbeli) affinitások egyértelmű megadhatósága 
nem-kollineáris ponthármasokkal (ill. nem-komplanáris pont-
négyesekkel.

1. AFFINITÁSOK folyt.
--------------------

Példa affinitásokra: párhuzamos vetítés két sík között.

Az affinitások lineáris kombináció tartása súlyponttartása, konvexitástartása.

Kör képe ellipszis.

2. A KÖR GEOMETRIÁJA (Hatvány, inverzió)
----------------------------------------

2.1. Alapfogalmak
-----------------
Kör és érintői; kör és egyenes, ill. két kör kölcsönös 
helyzete, szöge.
Körök egyenlete, normálegyenlet.

2.2. Hatvány
------------
A szelőszakaszok szorzatára vonatkozó tétel; pontnak körre
vonatkozó hatványa. A hatvány és a normálegyenlet kapcsolata. 
Két kör hatványvonala.

Három kör hatványpontja, két kör hatványvonalának 
szerkesztése. 



2.3. Inverzió
-------------
A síkbeli inverzió definíciója; fixpontok, involutív 
tulajdonság.
Egyenesek es körök inverzei. Inverz pontpárok jellemzése
merőlegesen metsző körökkel.

Az inverzió érintkezéstartása és szögtartása.

2.4. Euklideszi szerkesztések
-----------------------------
A szerkesztési eljárás, ill. a  szerkeszthető alakzatok
definíciója. Egyszerű szerkesztési feladatok és eljárások.
Klasszikus szerkesztési problémák.
Aranymetszés, szabályos ötszög szerkesztése.

Inverzió alkalmazása szerkesztési kérdésekben.
Szerkesztési feladatok átfogalmazása inverzióval, példák.
Mascheroni-féle szerkesztések, a Mohr-Mascheroni-tétel.