Fiatal Kutatói Mini-konferencia

2012. november 26.

   A Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet fiatal kutatói elôadást tartanak legújabb eredményeikrôl.

  Részletes program:


  14:00 Maga Péter : Egy számtest feletti Kuznyecov-formuláról

Kivonat: A Kloosterman-összegek összegének elemzése - például kvadratikus formák elôállításszámának kapcsán - a számelmélet fontos feladata. Vizsgálatukhoz dolgozták ki a Kuznyecov-formulát, mely a kérdéses összeget egy Maass-formák Fourier-együtthatóiból származtatott összeggel hozta kapcsolatba: így utóbbira vonatkozó becslések a Kloosterman-összegek összegét is megbecsülték. A formula ,,visszafelé'' is alkalmazható: a Kloosterman-összegekre vonatkozó eredmények (például a Weil-korlát) automorf formákról, illetve automorf L-függvényekrôl adnak információt. Az elôadásban a Kuznyecov-formula számtestre történô kiterjesztésérôl beszélünk.

  14:25 Ambrus Gergely: Extremális cross-politopok és normális változók

Kivonat: Legyenek X_1, ..., X_n független, standard normális véletlen változók. Legyen továbbá u = (u_1,...,u_n) egy n-dimenziós egységvektor nemnegatív koordinátákkal. Melyik u vektor esetén minimális illetve maximális az (u_1 X_1, ... , u_n X_n) véletlen vektor maximum normája? Az intuíciónkkal egyezésben, a minimum akkor vétetik fel, ha u összes koordinátája megegyezik, míg a maximum eseén u-nak legfeljebb két koordinátája nem 0. A geometriai oldalon ez meghatározza a megfelelôen normált n-dimenziós cross-polytopok között a minimális ill. maximális átlagszélességgel bírókat. A kérdést tovább általánosítjuk l_p normák esetére is, itt azonban már elôfordulnak váratlan extremumhelyzetek is.

  14:50 László Tamás: Ehrhart kvázipolinomok és komplex felületszingularitások topológiája

Kivonat: Tekintjük a komplex felületszingularitásokhoz tartozó speciális 3-sokaság egyik invariánsát, az ún. Seiberg-Witten invariánst. Ez egy racionális szám, amely "normalizáltja" el.áll teljesen különböz. homológia/kohomológia elméletek Euler-karakterisztikájaként (pl. Seiberg-Witten, Kronheimer-Mrowka, Heegaard-Floer és a rácspont-kohomológia elméletek). A 3-sokasághoz hozzárendelünk egy többváltozós "topológikus" zeta-függvényt, amelyhez csatolt Ehrhart-elmélet megadja ezt az invariánst, pontosabban egy speciális Ehrhart kvázipolinom egy jól meghatározott együtthatójaként áll el..

  15:15 Csóka Endre: Korlátos fokú nagyon nagy gráfok paraméterbecslései

Kivonat: Bemutatom azt a kérdéskört, hogy korlátos fokú nagyon nagy gráfoknak mik azok a paraméterei, amik konstans idejû véletlen mintavételezô algoritmussal is jól becsülhetôek. Bár a témakör biológiai, fizikai és társadalomtudományi motivációra jött létre, kiderül, hogy szoros kapcsolatban áll a megosztott algoritmusokkal, csoportelméleti sejtésekkel, és az is elképzelhetô, hogy ezen keresztül fogunk tudni hasznosabb definíciót adni a ,,való életbeli tipikus gráf" fogalmára is.


      Kávészünet


  16:00 Csíkvári Péter: Gráf polinomok gyökmomentumainak Benjamini-Schramm folytonossága

Kivonat: Elôadásomban megmutatjuk, hogy ha f(G,x) egy "szép" gráf polinom akkor egy (G_n) Benjamini-Schramm konvergens gráf sorozat esetén az f(G_n,x) polinom gyökeinek k. momentuma konvergens tetszôleges k-ra. Az elôadásban természetesen mindent definíálni fogok és kitérek arra, hogy ez az állítás hogyan kapcsolódik korábbi tételekhez. Ez közös munka Frenkel Péterrel. Ha marad idô akkor megemlítek néhány új eredményt Benjamini-Schramm konvergens gráf sorozatok párosításaival kapcsolatban. Ez már közös munka Abért Miklóssal, Frenkel Péterrel és Kun Gáborral.

  16:25 Tóth Ágnes A függetlenségi hányados aszimptotikus értéke direkt szorzás esetén

Kivonat: Egy gráf függetlenségi hányadosa a függetlenségi száma és a csúcsszáma hányadosa. Ha a gráf k-adik direkt hatványának függetlenségi hányadását tekintjük ahogy k tart a végtelenhez, akkor kapjuk a függetlenségi hányados direkt hatványozás szerinti aszimptotikus értékét. A paramétert Brown, Nowakowski és Rall kezdte vizsgálni egy 1996-os dolgozatban, melyben két egyszerû alsó korlátot adtak meg. Késôbb ezeket a korlátokat egyesítve Alon és Lubetzky egy általános alsó korlátot fogalmazott meg, és felvetették a kérdést, hogy ez a becslés megegyezik-e a paraméter értékével tetszôleges gráf esetén. Sikerült belátnom, hogy az elôbbi kérdésre pozitív a válasz, így egy viszonylag egyszerû formula adható a függetlenségi hányados aszimptotikus értékére direkt hatványozás esetén. Az eredménybôl további, a paraméterrel kapcsolatos kérdésekre is választ kapunk. Elôadásomban a fenti eredményeket szeretném ismertetni.

  16:50 Vizer Máté: A Duffus-Luczak-Rödl sejtésrôl

Kivonat

  17:15 Nagy Zoltán: A "sûrûségi Ramsey" kérdésrôl

Kivonat: Egy n csúcsú teljes gráf éleinek általános kettô színezésének nevezzük azt, ha két rögzített színosztály közül legalább az egyikkel ki van színezve minden egyes él. A vizsgált problémánk, hogy ha a kettôsen színezett élek a gráf éleinek p %-át alkotják, akkor mit mondhatunk a maximális egyszínû klikk méretérôl; valamint általánosabban, hogyan függ a kettôsen színezett élek száma a maximális klikk méretétôl. A problémának egy rokon irányított változatát is vizsgáljuk.